Jak użyć testu porównania limitów dla sumy 1 / (n + sqrt (n)) dla n = 1 do n = oo?

Odpowiedź:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # rozbieżne, można to zobaczyć porównując go do #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Wyjaśnienie:

Ponieważ ta seria jest sumą liczb dodatnich, musimy znaleźć szereg zbieżny #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # takie #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # i wyciągnij wniosek, że nasza seria jest zbieżna, lub musimy znaleźć taką rozbieżną serię #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # i zakończmy naszą serię również rozbieżnymi.

Zaznaczamy, co następuje:

Dla

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

W związku z tym

# n + sqrt (n) <= 2n #.

Więc

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Ponieważ jest to dobrze znane #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # rozbieżne, więc #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # również się rozbiega, ponieważ jeśli się to zbiegnie # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # zbiegną się również, a tak nie jest.

Teraz, używając testu porównawczego, widzimy to #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # rozbieżne.

Test porównania limitów ma dwie serie, # suma_n # i # sumb_n # gdzie #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Jeśli #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # gdzie #L> 0 # i jest skończona, wtedy obie serie zbiegają się lub obie serie rozchodzą się.

Powinniśmy pozwolić # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, sekwencja z danej serii. Dobry # b_n # wybór to przytłaczająca funkcja #na# podejścia jak # n # staje się duży. Więc pozwól # b_n = 1 / n #.

Zauważ, że # sumb_n # rozbiega się (to seria harmonicznych).

Widzimy to #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Kontynuując, dzieląc przez # n / n #, to staje się #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Ponieważ limit jest #1#, który jest #>0# i zdefiniowane, widzimy to # suma_n # i # sumb_n # będą się różnić lub zbiegać. Ponieważ już wiemy na # sumb_n # rozbieżne, możemy to stwierdzić # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # również się rozbiega.