Odpowiedź:
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
Wyjaśnienie:
Obszar jest rozwiązaniem tego systemu:
# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #
I jest naszkicowany na tej fabule:
Wzór na objętość bryły obrotu w osi x to:
# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.
Aby zastosować formułę, powinniśmy przetłumaczyć półksiężyc na osi x, obszar nie zmieni się, a więc nie zmieni to również głośności:
# y = -x ^ 2 + 2x + 3 kolor (czerwony) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #
# y = 3kolor (czerwony) (- 3) = 0 #
W ten sposób uzyskujemy #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.
Przetłumaczony obszar jest teraz drukowany tutaj:
Ale które są a i całką całki? Rozwiązania systemu:
# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #
Więc # a = 0 i b = 2 #.
Przepiszmy i rozwiążmy całkę:
# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #
# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #
# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #
# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #
# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #
# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #
A ta „cytryna” to otrzymana substancja stała: