Obszar ograniczony krzywą y = 3 + 2x-x ^ 2 i linia y = 3 jest całkowicie obracany wokół linii y = 3. Znajdź objętość uzyskanej bryły rewolucji?

Obszar ograniczony krzywą y = 3 + 2x-x ^ 2 i linia y = 3 jest całkowicie obracany wokół linii y = 3. Znajdź objętość uzyskanej bryły rewolucji?
Anonim

Odpowiedź:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Wyjaśnienie:

Obszar jest rozwiązaniem tego systemu:

# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

I jest naszkicowany na tej fabule:

Wzór na objętość bryły obrotu w osi x to:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Aby zastosować formułę, powinniśmy przetłumaczyć półksiężyc na osi x, obszar nie zmieni się, a więc nie zmieni to również głośności:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3 kolor (czerwony) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# y = 3kolor (czerwony) (- 3) = 0 #

W ten sposób uzyskujemy #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Przetłumaczony obszar jest teraz drukowany tutaj:

Ale które są a i całką całki? Rozwiązania systemu:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Więc # a = 0 i b = 2 #.

Przepiszmy i rozwiążmy całkę:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

A ta „cytryna” to otrzymana substancja stała: