Odpowiedź:
# dy / dx = -20 / 21 #
Wyjaśnienie:
Musisz znać podstawy niejawnego rozróżnienia tego problemu.
Wiemy, że nachylenie linii stycznej w punkcie jest pochodną; więc pierwszym krokiem będzie przyjęcie pochodnej. Zróbmy to kawałek po kawałku, zaczynając od:
# d / dx (3y ^ 2) #
Ten nie jest zbyt trudny; wystarczy zastosować regułę łańcucha i regułę mocy:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Teraz na # 4xy #. Będziemy potrzebować zasad zasilania, łańcucha i produktu dla tego:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Reguła produktu: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
W porządku, wreszcie # x ^ 2y # (więcej produktów, mocy i reguł łańcucha):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Teraz, kiedy znaleźliśmy wszystkie nasze pochodne, możemy wyrazić problem jako:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Pamiętaj, że pochodna stałej jest #0#).
Teraz zbieramy warunki z # dy / dx # z jednej strony i przenieś wszystko inne do drugiego:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Pozostaje tylko podłączyć #(2,5)# aby znaleźć naszą odpowiedź:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
