Czym jest pochodna x * e ^ 3x + tan ^ -1 2x? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

# e ^ (3x) + 3xe ^ (3x) + 2 / (1 + 4x ^ 2) #

Wyjaśnienie:

Pochodna wyrażenia # x.e ^ (3x) + tan ^ -1 (2x) #

Wiedząc to:

# (u + v) '= u' + v '# (1)

# (e ^ u) '= u'e ^ u # (2)

# (tan ^ -1 (u)) '= (u') / (1 + u ^ 2) # (3)

# (u.v) '= u'v + v'u #. (4)

Znajdźmy pochodną # x.e ^ (3x) #:

#color (niebieski) (x.e ^ (3x)) '#

# = x'e ^ (3x) + x. (e ^ (3x)) '# zastosowanie powyższego wzoru (4)

# = e ^ (3x) + x.3.e ^ (3x) # stosując powyższy wzór (2)

#color (niebieski) (= e ^ (3x) + 3xe ^ (3x). nazwij go (5)) #

Teraz znajdźmy pochodną # tan ^ -1 (2x) #

#color (niebieski) ((tan ^ -1 (2x))) '# stosując powyższy wzór (3)

# = ((2x) ') / (1+ (2x) ^ 2) #

#color (niebieski) (= 2 / (1 + 4x ^ 2) nazwij go (6)) #

Pochodna sumy # x.e ^ (3x) + tan ^ -1 (2x) # jest:

#color (czerwony) ((x.e ^ (3x) + tan ^ -1 (2x)) ') #

# = (x.e ^ (3x)) '+ (tan ^ -1 (2x))' #. stosując powyższy wzór (1)

#color (czerwony) (= e ^ (3x) + 3xe ^ (3x) + 2 / (1 + 4x ^ 2) #zastępując (5) i (6)

Czym jest pochodna f (x) = tan ^ -1 (e ^ x)?

Dzięki zasadzie łańcuchowej możemy znaleźć f '(x) = frac {e ^ x} {1 + e ^ {2x}}. Uwaga: [tan ^ {- 1} (x)] '= {1} / {1 + x ^ 2}. Według zasady łańcucha, f '(x) = {1} / {1+ (e ^ x) ^ 2} cdot e ^ x = {e ^ x} / {1 + e ^ {2x}}

Czym jest pochodna f (x) = tan ^ -1 (x)?

Wydaje mi się, że pamiętam, jak mój profesor zapomniał, jak to osiągnąć. Oto, co mu pokazałem: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Ponieważ tany = x / 1 i sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => kolor (niebieski) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Myślę, że pierwotnie zamierzał to zrobić: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)

Czym jest pochodna y = tan (x)?

Pochodna tanx to sec ^ 2x. Aby zobaczyć dlaczego, musisz znać kilka wyników. Po pierwsze, musisz wiedzieć, że pochodną sinx jest cosx. Oto dowód na to, wynikający z pierwszych zasad: Kiedy już to wiesz, oznacza to również, że pochodną cosx jest -sinx (której będziesz potrzebował później). Musisz wiedzieć jeszcze jedną rzecz, która jest Regułą Iloczynu dla różnicowania: Gdy wszystkie te części są na miejscu, różnicowanie przebiega następująco: d / dx tanx = d / dx sinx / cosx = (cosx. Cosx-sinx. ( -sinx)) / (cos ^ 2x) (używając reguły ilorazu) = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / (cos ^ 2x) = 1