Jak rozwiązać x + 2 = e ^ (x)?

Odpowiedź:

Użyj metody Newtona

#x = 1.146193 # i #x = -1.84141 #

Wyjaśnienie:

Nie można rozwiązać równania za pomocą metod algebraicznych. Do tego typu równania używam techniki analizy numerycznej zwanej metodą Newtona.

Oto odniesienie do metody Newtona

Pozwolić #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Zaczynasz od zgadywania # x_0 # a następnie wykonaj następujące obliczenia, aby zbliżyć się do rozwiązania:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Robisz obliczenia, wprowadzając każdy krok z powrotem do równania, dopóki liczba, którą otrzymasz, nie zmieni się od poprzedniego numeru.

Ponieważ metoda Newtona jest intensywna obliczeniowo, używam arkusza kalkulacyjnego Excel.

Otwórz arkusz kalkulacyjny Excel

W komórkę A1 wpisz swoje przypuszczenie # x_0 #. Wprowadziłem 1 do komórki A1.

Do komórki A2 wpisz następujące wyrażenie:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Skopiuj zawartość komórki A2 do schowka, a następnie wklej ją do komórki A3 do A10.

Zobaczysz, że liczba szybko się zbiega #x = 1.146193 #

Edytuj: Po przeczytaniu bardzo miłego komentarza od Shell. Postanowiłem znaleźć drugi korzeń, zmieniając wartość komórki A1 z 1 na -1. Arkusz kalkulacyjny szybko zbiega się w wartości #x = -1.84141 #

Odpowiedź:

To pytanie nie może zostać rozwiązane algebraicznie. Wykres daje # x = -1.841 # i # x = 1.146 #.

Wyjaśnienie:

Lewa strona równania # x + 2 # jest algebraiczny.

Prawa strona równania # e ^ x # jest transcendentalny (nie może być wyrażony jako wielomian, np. wykładnicze, logi, funkcje wyzwalające).

Tego równania nie można rozwiązać algebraicznie, ale można je rozwiązać graficznie.

Aby rozwiązać, wykreśl oba #color (czerwony) (y = x + 2) # i #color (niebieski) (y = e ^ x) # w narzędziu graficznym lub kalkulatorze graficznym. Rozwiązania to # x # współrzędne skrzyżowań.