Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Oblicz wartość oczekiwaną w dowolnym późniejszym czasie t = t_1, phi_n są funkcjami własnymi energii nieskończonego studnia potencjału. Napisz odpowiedź w kategoriach E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Oblicz wartość oczekiwaną w dowolnym późniejszym czasie t = t_1, phi_n są funkcjami własnymi energii nieskończonego studnia potencjału. Napisz odpowiedź w kategoriach E_0?
Anonim

Cóż, rozumiem # 14 / 5E_1 #… i biorąc pod uwagę wybrany przez ciebie system, nie można go ponownie wyrazić w kategoriach # E_0 #.

W tym pytaniu jest tyle reguł mechaniki kwantowej …

  • The # phi_0 #, ponieważ używamy nieskończonych potencjalnych rozwiązań studni, znika automatycznie … #n = 0 #, więc #sin (0) = 0 #.

A dla kontekstu pozwoliliśmy #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • To jest niemożliwy napisać odpowiedź w kategoriach # E_0 # bo #n = 0 # NIE istnieje dla nieskończonej studni potencjału. Chyba że chcesz cząstki znikać , Muszę to napisać pod względem # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Energia jest stałą ruchu, tj. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Więc teraz…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Wartość oczekiwana jest stałą ruchu, więc nie obchodzi nas, która godzina # t_1 # wybieramy. W przeciwnym razie nie jest to system konserwatywny …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # dla niektórych #n = 1, 2, 3,… #

W rzeczywistości wiemy już, co to powinno być, ponieważ hamiltonian dla jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału jest NIEZALEŻNY od czasu …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

i # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # przejdź do 1 w całce:

#color (niebieski) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

gdzie pozwoliliśmy #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Ponownie, wszystkie czynniki fazowe anulują się i zauważamy, że warunki niediagonalne osiągają zero z powodu ortogonalności # phi_n #.

Mianownik jest normą # Psi #, który jest

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

W związku z tym, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. To daje:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) anuluj (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) anuluj (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2 piksele) / L) anuluj (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2 piksele) / L) anuluj (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Zastosuj pochodne:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2 piksele) / L) ℏ ^ 2 / (2 m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Stałe wypływają:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2m ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2 piksele) / L) sin ((2 piksele) / L) dx #

Ta całka jest znana z powodów fizycznych, które mają być w połowie drogi #0# i # L #, niezależnie od # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 ml ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2 ml ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = kolor (niebieski) (14/5 E_1) #

Odpowiedź:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Wyjaśnienie:

Każdy stan stacjonarny odpowiadający wartości własnej energii # E_n # podnosi współczynnik fazowy #e ^ {- iE_n t} # ewolucja w czasie. Dany stan to nie stan stacjonarny - ponieważ jest to superpozycja energetycznych stanów własnych należących do różnych wartości własnych. W rezultacie będzie ewoluować w czasie w nietrywialny sposób. Jednak równanie Schroedingera, które rządzi ewolucją stanów w czasie, jest liniowe - tak, że każda funkcja własna energii ewoluuje niezależnie - zbierając swój własny czynnik fazowy.

Tak więc początkowa funkcja falowa

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

ewoluuje w czasie # t # do

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Zatem wartość oczekiwanej energii w czasie # t # jest dany przez

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) kapelusz {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) kapelusz {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) czasy phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że #phi_i (x) # są funkcjami własnymi energii, więc #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

To wciąż daje nam dziewięć terminów. Ostateczne obliczenia są jednak znacznie uproszczone przez fakt, że funkcje własne energii są orto-normalizowane, to znaczy oni są posłuszni

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Oznacza to, że z dziewięciu całek, tylko trzy przetrwają, a my dostajemy

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Używając standardowego wyniku #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, mamy # E_1 = 4E_0 # i # E_2 = 9E_0 # dla nieskończonego potencjału (możesz być bardziej przyzwyczajony do wyrażenia, które mówi #E_n propto n ^ 2 # dla nieskończonej studni - ale w tym stanie podstawowym jest oznaczony # E_1 # - tutaj to oznaczamy # E_0 # - stąd zmiana). A zatem

# <E> = (1/6 razy 1 + 1/3 razy 4 + 1/2 razy 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Uwaga:

  1. Podczas gdy poszczególne funkcje własne energii ewoluują w czasie, wychwytując czynnik fazowy, ogólna funkcja falowa nie różnią się od początkowego tylko czynnikiem fazowym - dlatego nie jest już stanem stacjonarnym.
  2. Całki były podobne

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} razy int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    i wyglądają na zależne od czasu. Jednak jedynymi całkami, które przetrwają, są te, które przetrwały # i = j # - i to są właśnie te, dla których zależność czasowa zostaje anulowana.

  3. Ostatnie wyniki pasują do tego, że #hat {H} # jest zachowany - nawet jeśli stan nie jest stanem stacjonarnym - wartość oczekiwana energii jest niezależna od czasu.
  4. Oryginalna funkcja wave jest już znormalizowana # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # i ta normalizacja jest zachowana w ewolucji czasu.
  5. Moglibyśmy wyciąć dużo pracy, gdybyśmy skorzystali ze standardowego kwantowego wyniku mechanicznego - jeśli funkcja falowa zostanie rozszerzona w formie #psi = sum_n c_n phi_n # gdzie # phi_n # są funkcjami własnymi operatora hermitowskiego #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, następnie # <kapelusz {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, pod warunkiem oczywiście, że stany są właściwie znormalizowane.