Jakie jest równanie w standardowej formie paraboli z fokusem w (42, -31) i linią y = 2?

Jakie jest równanie w standardowej formie paraboli z fokusem w (42, -31) i linią y = 2?
Anonim

Odpowiedź:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # forma standardowa

Wyjaśnienie:

Proszę zauważyć, że reżyser jest linią poziomą

#y = 2 #

Dlatego parabola jest rodzajem, który otwiera się w górę lub w dół; forma wierzchołka równania dla tego typu jest:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Gdzie # (h, k) # jest wierzchołkiem i #fa# to podpisana odległość pionowa od wierzchołka do ogniska.

Współrzędna x wierzchołka jest taka sama jak współrzędna x fokusa:

#h = 42 #

Zastąpić #42# dla # h # w równanie 1:

#y = 1 / (4f) (x-42) ^ 2 + k "2" #

Współrzędna y wierzchołka znajduje się w połowie drogi między linią bezpośrednią a punktem skupienia:

#k = (y_ „directrix” + y_ „focus”) / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Zastąpić #-29/2# dla # k # do równania 2:

#y = 1 / (4f) (x-42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Równanie, aby znaleźć wartość #fa# jest:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Zastąpić #-33/2# dla #fa# do równania 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x-42) ^ 2-29 / 2 #

Uprość ułamek:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Rozwiń kwadrat:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Rozdziel frakcję:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Połącz podobne terminy:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # forma standardowa

Odpowiedź:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Wyjaśnienie:

Rozwiążemy to Problem używając następujących Focus-Directrix

Nieruchomość (FDP) z Parabola.

FDP: Dowolny punkt na Parabola jest równoodległy z

Skupiać i Kierownica.

Niech chodzi o to # F = F (42, -31), i linia „d: y-2 = 0, # być

Skupiać i Kierownica z Parabola, powiedzmy S.

Pozwolić, # P = P (x, y) w S, # być jakimkolwiek Ogólny punkt.

Następnie za pomocą Formuła odległości, mamy, odległość,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Wiedząc, że #nerw-#dist. między punktem # (k, k), # i wiersz:

# ax + o + c = 0, # jest, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # znaleźliśmy to, # "" bot "dist. btwn" P (x, y), &, d "to," | y-2 | ………….. (2). #

Przez FDP, # (1) i (2), # mamy, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 | lub lub #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, tj. #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # który w Forma standardowa, czyta, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

tak jak Szanowany Douglas K. Sir już się wyprowadził!

Ciesz się matematyką!