Co to są liczby złożone?

Liczby złożone to liczby formularza # a + bi # gdzie #za# i #b# są liczbami rzeczywistymi i #ja# jest zdefiniowany jako # i = sqrt (-1) #.

(Powyższe jest podstawową definicją liczb zespolonych. Czytaj więcej o nich.)

Podobnie jak określamy zbiór liczb rzeczywistych jako # RR #, oznaczamy zbiór liczb zespolonych jako # CC #. Zauważ, że wszystkie liczby rzeczywiste są również liczbami zespolonymi, jak każda liczba rzeczywista # x # może być napisane jako # x + 0i #.

Podano liczbę zespoloną # z = a + bi #, mówimy tak #za# jest prawdziwa część liczby zespolonej (oznaczonej # „Re” (z) #) i #b# jest część wyobrażona liczby zespolonej (oznaczonej # „Im” (z) #).

Wykonywanie operacji na liczbach zespolonych jest podobne do wykonywania operacji na dwumianach. Biorąc pod uwagę dwie liczby zespolone # z_1 = a_1 + b_1i # i # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (Zapamiętaj # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Do podziału użyliśmy tego faktu # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Podano liczbę zespoloną # z = a + bi # nazywamy # a-bi # kompleksowy koniugat z # z # i oznacz to #bar (z) # Jest to przydatna właściwość (jak widać powyżej) #zbar (z) # jest zawsze liczbą rzeczywistą.

Liczby zespolone mają wiele użytecznych aplikacji i atrybutów, ale często spotykany wcześniej jest ich zastosowanie w faktorowaniu wielomianów. Jeśli ograniczymy się tylko do liczb rzeczywistych, wielomian taki jak # x ^ 2 + 1 # nie można dalej brać pod uwagę faktów, jednak jeśli pozwolimy na liczby zespolone, to mamy # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

W rzeczywistości, jeśli pozwolimy na liczby złożone, to każdy jednomianowy wielomian stopnia # n # może być napisane jako produkt # n # czynniki liniowe (możliwe, że niektóre są takie same). Ten wynik jest znany jako podstawowe twierdzenie algebry i, jak wskazuje nazwa, jest bardzo ważna dla algebry i ma szerokie zastosowanie.