Jak rozwiązać to równanie?

Odpowiedź:

# „Zobacz wyjaśnienie” #

Wyjaśnienie:

# „Najpierw zastosuj racjonalne twierdzenie o korzeniach, aby znaleźć racjonalne korzenie.” #

# „Znajdujemy„ x = 1 ”jako racjonalny root.” #

# „Więc” (x-1) ”jest czynnikiem. Dzielimy ten czynnik:„ #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# „Mamy pozostałe równanie sześcienne, które nie ma racjonalnych korzeni”.

# „Możemy go rozwiązać, zastępując metodę Vieta.” #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# „Zastąp” x = y + 2/9 ”. Wtedy otrzymamy„ #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Zastąp" y = (sqrt (22) / 9) z ". Wtedy dostaniemy" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# „Zastąp” z = t + 1 / t ”. Wtedy dostajemy„ #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# „Zastępowanie„ u = t ^ 3 ”daje równanie kwadratowe:„ #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# „Pierwiastkiem tego równania kwadratowego jest u = 5.73717252.” #

# "Zastępowanie zmiennych z powrotem, daje:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Pozostałe korzenie są złożone:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# ”(Można je znaleźć, oddzielając” (x-1.44631151)) #

Odpowiedź:

Racjonalne prawdziwe zero to # x = 1 #.

Wtedy jest irracjonalne prawdziwe zero:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

oraz powiązane nierealne zera złożone.

Wyjaśnienie:

Dany:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Zauważ, że suma współczynników wynosi #0#.

To jest: #3-5+2 = 0#

Dlatego możemy to wywnioskować # x = 1 # jest zero i # (x-1) # czynnik:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (biały) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Pozostały sześcienny jest nieco bardziej skomplikowany …

Dany:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformacja Tschirnhaus

Aby ułatwić rozwiązywanie problemu sześciennego, upraszczamy sześcienny za pomocą podstawienia liniowego znanego jako transformacja Tschirnhausa.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

gdzie # t = (9x-2) #

Metoda Cardano

Chcemy rozwiązać:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Pozwolić # t = u + v #.

Następnie:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Dodaj ograniczenie # v = 22 / u # wyeliminować # (u + v) # termin i uzyskać:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Pomnóż przez # u ^ 3 # i zmień nieco, aby uzyskać:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Użyj wzoru kwadratowego, aby znaleźć:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Ponieważ jest to Real, a pochodna jest symetryczna # u # i # v #, możemy użyć jednego z tych korzeni # u ^ 3 # a drugi dla # v ^ 3 # znaleźć prawdziwy root:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

i powiązane korzenie złożone:

# t_2 = root omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + root omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + korzeń omega (3) (305-27sqrt (113)) #

gdzie # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # jest pierwotnym złożonym korzeniem sześcianu #1#.

Teraz # x = 1/9 (2 + t) #. Tak więc korzenie naszego oryginalnego kubizmu to:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + korzeń omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + korzeń omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + korzeń omega (3) (305-27sqrt (113))) #