Pokaż, że ścieżka wyznaczona przez punkt przecięcia trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn stycznych do elipsoidalnej osi ^ 2 + przez ^ 2 + cz ^ 2 = 1 jest kulą o tym samym środku co elipsoida.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Powołanie # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + przez ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

Jeśli #p_i = (x_i, y_i, z_i) w E # następnie

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # to samolot styczny do #MI# ponieważ ma wspólny punkt i #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # jest normalne #MI#

Pozwolić # Pi-> alfa x + beta y + gamma z = delta # być ogólną płaszczyzną styczną do #MI# następnie

# {(x_i = alpha / (delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #

ale

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # więc

# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # a ogólne równanie płaszczyzny stycznej jest

# alfa x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

Teraz podano trzy ortogonalne płaszczyzny

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

i wołanie #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # i robienie

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # możemy wybrać

#V cdot V ^ T = I_3 #

iw konsekwencji

# V ^ Tcdot V = I_3 #

wtedy też mamy

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

Teraz dodawanie #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # mamy

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (suma xy (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + suma (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

i w końcu

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

ale #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

więc

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

która jest ścieżką wyznaczoną przez punkt przecięcia trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn stycznych do elipsoidy.

Dołączono działkę dla elipsoidy

# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #