(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Zróbmy to ???

Odpowiedź:

#a = 1, b = 1 #

Wyjaśnienie:

Rozwiązywanie tradycyjnego sposobu

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Teraz rozwiązywanie dla #za#

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # ale #za# musi być prawdziwy, więc warunek jest

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # lub # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

teraz zastępuje i rozwiązuje #za#

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # i rozwiązanie jest

#a = 1, b = 1 #

Inny sposób na zrobienie tego samego

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

ale

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

i kończąc

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Odpowiedź:

RE. Jest dokładnie jedna para rozwiązań # (a, b) = (1, 1) #

Wyjaśnienie:

Dany:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Zauważ, że możemy uczynić to ładnym symetrycznym jednorodnym problemem, uogólniając na:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

następnie ustaw # c = 1 # na końcu.

Rozszerzając obie strony tego uogólnionego problemu, mamy:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Odejmując lewą stronę z obu stron, otrzymujemy:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (biały) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a 2 2

#color (biały) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Dla prawdziwych wartości #za#, #b# i #do#, to może się utrzymać tylko, jeśli wszystkie # (a-b) #, #(pne)# i # (c-a) # są zero, a zatem:

#a = b = c #

Potem stawianie # c = 1 # znajdujemy jedyne rozwiązanie pierwotnego problemu, a mianowicie # (a, b) = (1, 1) #