Miasta A i B są oddalone od siebie o 16 mil. Ile punktów znajduje się 10 mil od miasta A i 12 mil od miasta B?

Odpowiedź:

Jest to zasadniczo przecięcie dwóch okręgów, więc możemy mieć 0, 1 lub 2 punkty przecięcia. W tym pytaniu mamy 2.

Wyjaśnienie:

Pomyślmy, wyobrażając sobie, że budujemy ogrodzenia wokół miast A i B.

Pierwszą rzeczą do sprawdzenia jest to, że ogrodzenie wokół miasta A (które nazywam ogrodzeniem A) i wokół miasta B (które nazywam ogrodzeniem B) będzie się przecinać.

Ponieważ budujemy ogrodzenia, które są w tej samej odległości dookoła miast, budujemy okrągłe ogrodzenia.

Teraz są 3 możliwe odpowiedzi:

• jeśli miasta są niezależne od ojca niż odległość, na jaką dosięgnie każde ogrodzenie, nie dotkną,
• jeśli miasta są dokładnie w takiej odległości, że sięgają dwa ogrodzenia, wtedy ogrodzenia przecinają się w jednym miejscu, i
• jeśli miasta są bliżej siebie niż zasięgają 2 ogrodzenia, ogrodzenia przecinają się w 2 miejscach.

Ponieważ Ogrodzenie A osiągnie 10 mil w kierunku Miasta B, a Ogrodzenie B osiągnie 12 mil w kierunku Miasta A, 2 osiągną 22 mile. Ale miasta są oddalone od siebie o mniej niż 22 mile - są oddalone od siebie o 16 mil, a więc ogrodzenia będą się przecinać w 2 miejscach.

(Wyobraź sobie Miasto A po lewej, a koło wokół niego Ogrodzenie A. Miasto B znajduje się po prawej stronie, a okrąg wokół niego to Ogrodzenie B.)

Powinienem zauważyć (dzięki @George C za złapanie tego), że rozwiązanie, które podałem, zakłada, że odległość między dwoma miastami jest stosunkowo duża w porównaniu z promieniami 2 ogrodzeń. Gdyby miasta były stosunkowo bliskie w porównaniu z promieniami ogrodzeń, wtedy mielibyśmy te same 3 potencjalne rozwiązania 0, 1 i 2 punkty przecięcia, ale ogrodzenia mogłyby być całkowicie 1 wewnątrz drugiego (więc nie ma punktów), może dotykać w jednym punkcie lub przecinać się i mieć 2 punkty.