Jaka jest projekcja <0, 1, 3> na <0, 4, 4>?

Odpowiedź:

Projekcja wektorowa jest #< 0,2,2 >#, projekcja skalarna jest # 2sqrt2 #. Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Dany # veca = <0,1,3> # i # vecb = <0,4,4> #, możemy znaleźć #proj_ (vecb) veca #, the wektor projekcja # veca # na # vecb # używając następującej formuły:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Oznacza to, że iloczyn punktowy dwóch wektorów jest podzielony przez wielkość # vecb #, pomnożone przez # vecb # podzielona przez jego wielkość. Druga wielkość jest wielkością wektorową, ponieważ dzielimy wektor przez skalar. Zauważ, że dzielimy się # vecb # przez jego wielkość w celu uzyskania wektor jednostkowy (wektor o wielkości #1#). Można zauważyć, że pierwsza wielkość jest skalarna, ponieważ wiemy, że kiedy otrzymamy iloczyn punktowy dwóch wektorów, wypadkową jest skalar.

Dlatego też skalarny projekcja #za# na #b# jest #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, także napisane # | proj_ (vecb) veca | #.

Możemy zacząć od przyjęcia iloczynu punktowego dwóch wektorów:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Wtedy możemy znaleźć wielkość # vecb # pobierając pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów każdego ze składników.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

A teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy, aby znaleźć projekcję wektorową # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Projekcja skalarna # veca # na # vecb # to tylko pierwsza połowa formuły, gdzie #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Dlatego projekcja skalarna jest # 16 / sqrt (32) #, co dodatkowo ułatwia # 2sqrt2 #. Pokazałem poniższe uproszczenie.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Mam nadzieję, że to pomoże!