Jak użyć formuły dwumianowej do rozwinięcia [x + (y + 1)] ^ 3?

Odpowiedź:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Ten dwumian ma formę # (a + b) ^ 3 #

Rozwijamy dwumian, stosując tę właściwość:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Gdzie w danym dwumianu # a = x # i # b = y + 1 #

Mamy:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # zaznacz to jako (1)

W powyższym rozwinięciu nadal mamy dwa dwumianowe do rozwinięcia

# (y + 1) ^ 3 # i # (y + 1) ^ 2 #

Dla # (y + 1) ^ 3 # musimy użyć powyższej własności w kostce

Więc # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Uwaga jako (2)

Dla # (y + 1) ^ 2 # musimy użyć kwadratu sumy, która mówi:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Więc # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Uwaga jako (3)

Zastępując (2) i (3) w równaniu (1) mamy:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Musimy dodać podobne terminy, ale w tym wielomianie nie mamy podobnych terminów, możemy ułożyć terminy.

A zatem, # x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #