Jak odróżnić y = (cos 7x) ^ x? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

# dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x))) #

Wyjaśnienie:

To jest okropne.

#y = (cos (7x)) ^ x #

Zacznij od wzięcia logarytmu naturalnego po obu stronach i wywołania wykładnika # x # w dół do współczynnika prawej strony:

#rArr lny = xln (cos (7x)) #

Teraz rozróżnij każdą ze stron w odniesieniu do # x #, używając reguły produktu po prawej stronie. Pamiętaj o zasadzie niejawnego różnicowania: # d / dx (f (y)) = f '(y) * dy / dx #

#:. 1 / y * dy / dx = d / dx (x) * ln (cos (7x)) + d / dx (ln (cos (7x))) * x #

Używanie reguły łańcucha dla funkcji logarytmu naturalnego - # d / dx (ln (f (x))) = (f '(x)) / f (x) # - możemy odróżnić #ln (cos (7x)) #

# d / dx (ln (cos (7x))) = -7sin (7x) / cos (7x) = -7tan (7x) #

Wracając do oryginalnego równania:

# 1 / y * dy / dx = ln (cos (7x)) - 7xtan (7x) #

Teraz możemy zastąpić oryginał # y # jako funkcja # x # wartość od początku do tyłu, aby usunąć błąd # y # po lewej stronie. Mnożąc obie strony przez # y #:

# dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x))) #

Czas (t) wymagany do opróżnienia zbiornika zmienia się odwrotnie jak szybkość (r) pompowania. Pompa może opróżnić zbiornik w ciągu 90 minut z prędkością 1200 l / min. Jak długo pompa będzie potrzebowała opróżnić zbiornik przy 3000 l / min?

T = 36 „minut” kolor (brązowy) („Od pierwszych zasad”) 90 minut przy 1200 l / min oznacza, że zbiornik mieści 90xx1200 L Aby opróżnić zbiornik z prędkością 3000 L / m zajmie to czas (90xx1200 ) / 3000 = (108000) / 3000 = 36 „minut” '~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ kolor (brązowy) („Korzystanie z metody implikowanej w pytaniu”) t ”„ alfa ”„ 1 / r ”„ => ”„ t = k / r ”” gdzie k jest stałą zmienności Znany stan: t = 90 ";" r = 1200 => 90 = k / 1200 => k = 90xx1200 Więc t = (90xx1200) / r Tak więc przy r = 3000 mamy t = (90xx1200) / (3000) Zauważ, że jest to dokładnie to samo jak w pierwszych

Jak odróżnić sqrt (cos (x ^ 2 + 2)) + sqrt (cos ^ 2x + 2)?

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2sen (x + 2) (dy ) / (dx) = (2xsen (x ^ 2 + 2) + 2sen (x + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (anuluj2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (cancel2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2)))

Jak odróżnić y = cos (cos (cos (x)))?

Dy / dx = -sin (cos (cos (x))) sin (cos (x)) sin (x) Jest to początkowo zniechęcający problem, ale w rzeczywistości, przy zrozumieniu zasady łańcucha, jest całkiem prosty. Wiemy, że dla funkcji funkcji takiej jak f (g (x)), reguła łańcucha mówi nam, że: d / dy f (g (x)) = f '(g (x) g ”(x) Stosując reguła ta trzy razy, możemy w rzeczywistości określić ogólną zasadę dla każdej funkcji takiej jak ta, w której f (g (h (x))): d / dy f (g (h (x))) = f '(g (h (x))) g '(h (x)) h' (x) Tak więc stosując tę zasadę, biorąc pod uwagę, że: f (x) = g (x) = h (x) = cos (x) zatem f '(x ) = g (x) = h (x)