Jak odróżnić y = cos (cos (cos (x)))? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

# dy / dx = -sin (cos (cos (x))) sin (cos (x)) sin (x) #

Wyjaśnienie:

Jest to początkowo zniechęcający problem, ale w rzeczywistości, dzięki zrozumieniu zasady łańcucha, jest dość prosty.

Wiemy, że dla funkcji takiej jak #f (g (x)) #, reguła łańcucha mówi nam, że:

# d / dy f (g (x)) = f '(g (x) g' (x) #

Stosując tę regułę trzy razy, możemy określić ogólną zasadę dla każdej funkcji takiej jak ta #f (g (h (x))) #:

# d / dy f (g (h (x))) = f '(g (h (x))) g' (h (x)) h '(x) #

Zatem stosując tę zasadę, biorąc pod uwagę, że:

#f (x) = g (x) = h (x) = cos (x) #

a zatem

#f '(x) = g (x) = h (x) = -sin (x) #

daje odpowiedź:

# dy / dx = -sin (cos (cos (x))) sin (cos (x)) sin (x) #

Czas (t) wymagany do opróżnienia zbiornika zmienia się odwrotnie jak szybkość (r) pompowania. Pompa może opróżnić zbiornik w ciągu 90 minut z prędkością 1200 l / min. Jak długo pompa będzie potrzebowała opróżnić zbiornik przy 3000 l / min?

T = 36 „minut” kolor (brązowy) („Od pierwszych zasad”) 90 minut przy 1200 l / min oznacza, że zbiornik mieści 90xx1200 L Aby opróżnić zbiornik z prędkością 3000 L / m zajmie to czas (90xx1200 ) / 3000 = (108000) / 3000 = 36 „minut” '~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ kolor (brązowy) („Korzystanie z metody implikowanej w pytaniu”) t ”„ alfa ”„ 1 / r ”„ => ”„ t = k / r ”” gdzie k jest stałą zmienności Znany stan: t = 90 ";" r = 1200 => 90 = k / 1200 => k = 90xx1200 Więc t = (90xx1200) / r Tak więc przy r = 3000 mamy t = (90xx1200) / (3000) Zauważ, że jest to dokładnie to samo jak w pierwszych

Jak odróżnić amd uproszczenie: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Lubię ustawiać problem równy y, jeśli jeszcze nie jest. Pomoże także naszemu przypadkowi przepisać problem, używając właściwości logarytmów; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Teraz wykonujemy dwie zmiany, aby ułatwić czytanie; Powiedzmy, że w = cosh (lnx) i u = cosx teraz; y = ln (w) + ln (u) ahh, możemy z tym pracować :) Weźmy pochodną względem x obu stron. (Ponieważ żadna z naszych zmiennych nie jest x, będzie to niejawne różnicowanie) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) Cóż, znamy pochodną lnx na 1 / x i używając reguły łańcucha, którą otrzymujemy; dy / d

Jak odróżnić sqrt (cos (x ^ 2 + 2)) + sqrt (cos ^ 2x + 2)?

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2sen (x + 2) (dy ) / (dx) = (2xsen (x ^ 2 + 2) + 2sen (x + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (anuluj2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (cancel2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2)))