Jak odróżnić amd uproszczenie: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Odpowiedź:

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Wyjaśnienie:

Lubię ustawiać problem równy y, jeśli jeszcze nie jest. Pomoże także naszemu przypadkowi przepisać problem, używając właściwości logarytmów;

#y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) #

Teraz wykonujemy dwie zmiany, aby ułatwić odczytanie problemu;

Powiedzmy #w = cosh (lnx) #

i #u = cosx #

teraz;

#y = ln (w) + ln (u) #

ahh, możemy z tym pracować:)

Weźmy pochodną względem x obu stron. (Ponieważ żadna z naszych zmiennych nie jest x, będzie to niejawne różnicowanie)

# d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) #

Znamy pochodną # lnx # być # 1 / x # i używając reguły łańcucha, którą otrzymujemy;

# dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx #

Wróćmy więc do #u i w # i znajdź ich pochodne

# (du) / dx = d / dxcosx = -sinx #

i

# (dw) / dx = d / dxcosh (lnx) = sinh (lnx) * 1 / x # (używając reguły łańcucha)

Podłączając nasze nowo znalezione pochodne, i u, i wracamy do # dy / dx # dostajemy;

# dy / dx = 1 / cosh (lnx) * sinh (lnx) / x + 1 / cosx * -sinx #

# dy / dx = sinh (lnx) / (xcosh (lnx)) - sinx / cosx #

# dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx #

Jeśli można to jeszcze bardziej uprościć, nie dowiedziałem się, jak to zrobić. Mam nadzieję, że to pomogło:)