Jak użyć twierdzenia o wartości pośredniej do sprawdzenia, czy w przedziale [0,1] dla f (x) = x ^ 3 + x-1 występuje zero?

Odpowiedź:

W tym przedziale jest dokładnie 1 zero.

Wyjaśnienie:

Twierdzenie o wartości pośredniej stwierdza, że dla funkcji ciągłej zdefiniowanej w przedziale # a, b # możemy pozwolić #do# bądź liczbą z

#f (a) <c <f (b) # i to #EE x w a, b # takie #f (x) = c #.

Następstwem tego jest to, że jeśli znak #f (a)! = # znak #pełne wyżywienie)# oznacza to, że muszą być jakieś #x w a, b # takie #f (x) = 0 # bo #0# jest oczywiście między negatywami a pozytywami.

Podsumujmy zatem punkty końcowe:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#w związku z tym# w tym przedziale jest co najmniej jedno zero. Aby sprawdzić, czy jest tylko jeden korzeń, przyjrzymy się pochodnej, która daje nachylenie.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Widzimy to #AA x w a, b, f '(x)> 0 # więc funkcja zawsze rośnie w tym przedziale - oznacza to, że w tym przedziale jest tylko jeden root.