Pytanie # 5ea5f

Odpowiedź:

Znalazłem: # 1/2 x-sin (x) cos (x) + c #

Wyjaśnienie:

Spróbuj tego:

Odpowiedź:

Alternatywnie można użyć tożsamości trig, aby znaleźć ten sam wynik: # intsin ^ 2xdx = 1/2 (x-sinxcosx) + C #

Wyjaśnienie:

Oprócz metody Gio istnieje inny sposób wykonywania tej całki przy użyciu tożsamości trygonometrycznych. (Jeśli nie lubisz generalnie trygonatu lub matematyki, nie winiłbym cię za lekceważenie tej odpowiedzi - ale czasami użycie trig jest nieuniknione w przypadku problemów).

Tożsamość, z której będziemy korzystać, to: # sin ^ 2x = 1/2 (1-cos2x) #.

Możemy więc przepisać całkę w ten sposób:

# int1 / 2 (1-cos2x) dx #

# = 1 / 2int1-cos2x #

Korzystając z reguły sumy, otrzymujemy:

# 1/2 (int1dx-intcos2xdx) #

Pierwsza całka po prostu się sprawdza # x #. Druga integracja jest nieco trudniejsza. Wiemy, że całka # cosx # jest # sinx # (bo # d / dxsinx = cosx #), ale co z # cos2x #? Musimy dostosować się do reguły łańcucha, mnożąc przez #1/2#, aby zrównoważyć # 2x #:

# d / dx1 / 2sin2x = 2 * 1 / 2cos2x = cos2x #

Więc # intcos2xdx = 1 / 2sin2x + C # (nie zapomnij o stałej integracji!) Korzystając z tej informacji, plus fakt, że # int1dx = x + C #, mamy:

# 1/2 (kolor (czerwony) (int1dx) -color (niebieski) (intcos2xdx)) = 1/2 (kolor (czerwony) (x) -kolor (niebieski) (1 / 2sin2x)) + C #

Użyj tożsamości # sin2x = 2sinxcosx #, znaleźliśmy:

# 1/2 (x-1 / 2sin2x) + C = 1/2 (x-1/2 (2sinxcosx)) + C #

# = 1/2 (x-sinxcosx) + C #

I to jest odpowiedź, którą Gio znalazł, używając metody integracji przez części.