Niech vec (v_1) = [(2), (3)] i vec (v_1) = [(4), (6)] jaki jest zakres przestrzeni wektorowej zdefiniowanej przez vec (v_1) i vec (v_1)? Wyjaśnij szczegółowo swoją odpowiedź?

Odpowiedź:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdainF #

Wyjaśnienie:

Zazwyczaj mówimy o przęsło zbioru wektorów, a nie całej przestrzeni wektorowej. Następnie przejdziemy do zbadania rozpiętości # {vecv_1, vecv_2} # w danej przestrzeni wektorowej.

Rozpiętość zbioru wektorów w przestrzeni wektorowej jest zbiorem wszystkich skończonych kombinacji liniowych tych wektorów. To znaczy, biorąc pod uwagę podzbiór # S # przestrzeni wektorowej nad polem #FA#, mamy

# "span" (S) = ninNN, s_iinS, lambda_iinF #

(zbiór dowolnej sumy skończonej z każdym określeniem będącym iloczynem skalara i elementu # S #)

Dla uproszczenia przyjmiemy, że nasza dana przestrzeń wektorowa znajduje się nad jakimś podpole #FA# z # CC #. Następnie, stosując powyższą definicję:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambda_iinF #

# = lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 #

Ale zauważ to # vecv_2 = 2vecv_1 #i tak dla każdego # lambda_1, lambda_2inF #,

# lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 = lambda_1vecv_1 + lambda_2 (2vecv_1) = (lambda_1 + 2lambda_2) vecv_1 #

Następnie, jak każda kombinacja liniowa # vecv_1 # i # vecv_2 # można wyrazić jako skalarną wielokrotność # vecv_1 #i dowolna skalarna wielokrotność # vecv_1 # można wyrazić jako kombinację liniową # vecv_1 # i # vecv_2 # przez ustawienie # lambda_2 = 0 #, mamy

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdavecv_1 #