Jak znaleźć limit sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) w miarę zbliżania się x -oo?

Odpowiedź:

Zrób trochę faktoringu #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Wyjaśnienie:

Kiedy mamy do czynienia z ograniczeniami w nieskończoności, zawsze pomocne jest uwzględnienie # x #lub # x ^ 2 #lub jakiejkolwiek mocy # x # upraszcza problem. W tym przypadku wyodrębnijmy # x ^ 2 # z licznika i # x # z mianownika:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Tutaj zaczyna się interesować. Dla #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # jest pozytywny; jednak dla #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # jest ujemny. W kategoriach matematycznych:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # dla #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # dla #x <0 #

Ponieważ mamy do czynienia z limitem przy ujemnej nieskończoności, #sqrt (x ^ 2) # staje się # -x #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Teraz możemy zobaczyć piękno tej metody: mamy # 9 / x ^ 2 # i # 6 / x #, z których oba pójdą do #0# tak jak # x # idzie do nieskończoności:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #