Jak znaleźć funkcję kwadratową f (x) = ax² + bx + c o minimalnej wartości -4, gdy x = 3; jedno zero to 6?

Odpowiedź:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Funkcje kwadratowe są symetryczne względem ich linii wierzchołków, tj. Przy x = 3, co oznacza, że drugie zero będzie miało wartość x = 0.

Wiemy, że wierzchołek występuje przy x = 3, więc pierwsza pochodna funkcji oszacowanej przy x = 3 będzie równa zero.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Znamy również wartość samej funkcji przy x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Mamy dwa równania, ale trzy niewiadome, więc potrzebujemy innego równania. Spójrz na znane zero:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Mamy teraz układ równań:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Aby odczytać rozwiązania, chcemy zredukować naszą macierz współczynników do zredukowanej formy rzutu za pomocą podstawowych operacji wiersza.

Pomnóż pierwszy wiersz przez #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Dodaj #-9# razy pierwszy wiersz do drugiego rzędu:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Dodaj #-36# razy pierwszy rząd do trzeciego:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Pomnóż drugi rząd przez #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Dodaj #-2/3# razy trzeci rząd do drugiego rzędu:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Dodaj #-1/6# razy drugi do pierwszego

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Wykonanie tej serii operacji do wektora rozwiązania daje:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Więc czytanie rozwiązań, które mamy # a = 4/9 i b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

wykres {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}