Trójkąt ma wierzchołki A (a, b), C (c, d) i O (0, 0). Jakie jest równanie i obszar ograniczonego okręgu trójkąta?

Odpowiedź:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # gdzie

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Wyjaśnienie:

Uogólniłem pytanie; zobaczmy, jak to pójdzie. Zostawiłem jeden wierzchołek na początku, co sprawia, że jest nieco mniej brudny, a arbitralny trójkąt jest łatwo tłumaczony.

Trójkąt jest oczywiście całkowicie nieistotny dla tego problemu. Ograniczony okrąg to okrąg przechodzący przez trzy punkty, które są trzema wierzchołkami. Trójkąt sprawia niespodziankę w rozwiązaniu.

Pewna terminologia: opisany okrąg nazywany jest trójkątem Circircle i jego środek trójkąta circumcenter.

Ogólne równanie dla okręgu ze środkiem # (p, q) # i kwadratowy promień # s # jest

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

a obszar okręgu jest #A = pi s. #

Mamy trzy niewiadome # p, q, s # i znamy trzy punkty, więc otrzymujemy trzy równania:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # ponieważ pochodzenie jest na kole.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Rozwiążmy równania równoczesne. Zamieńmy je w dwa równania liniowe, rozszerzając i odejmując pary, co oznacza utratę # p ^ 2 + q ^ 2 # po lewej i # s # po prawej.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Odejmowanie, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Podobnie, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

To dwa równania w dwóch niewiadomych. # AX = K # ma rozwiązanie # X = A ^ {- 1} K. # Pamiętam odwrotność macierzy dwa na dwa, której nie wiem, jak sformatować

#A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Dla nas to znaczy

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

i kwadratowy promień

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

więc obszar #Liczba Pi# razy tę kwotę.

Widzimy, że wyrażenie staje się bardziej symetryczne, jeśli weźmiemy pod uwagę, co dzieje się z arbitralnym trójkątem #(ALFABET).# Ustawiliśmy # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ale teraz tego nie zrobię.

Zanotuję licznik # s # jest iloczynem trzech kwadratów długości boków trójkąta i mianownika # s # jest szesnastokrotnością kwadratu powierzchni trójkąta.

W Rational Trigonometry wywoływane są kwadraty długości czworoboki a szesnaście razy kwadrat jest nazywany quadrea. Odkryliśmy, że kwadrant promienia okręgu jest iloczynem czworokąta trójkąta podzielonego przez kwadrat.

Jeśli potrzebujemy tylko promienia lub obszaru okręgu, możemy podsumować wynik tutaj:

Kwadratowy promień okręgu jest iloczynem kwadratów długości trójkąta podzielonych przez szesnastokrotność kwadratu trójkąta.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #