Jak mogłem to udowodnić? Czy to byłoby użycie twierdzenia z rzeczywistej analizy?

# "Użyj definicji pochodnej:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

#"Mamy tutaj"#

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# „Musimy to udowodnić” #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"lub"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"lub"#

#h '(x_0) = 0 #

# "z" h (x) = f (x) - g (x) #

#"lub"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"lub"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# ”(z powodu„ f (x_0) = g (x_0) ”)” #

#"Teraz"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "jeśli" h> 0 "i" lim> = 0 "jeśli" h <0 #

# „Przyjęliśmy założenie, że f i g są różniczkowalne” #

# "więc" h (x) = f (x) - g (x) "jest również różniczkowalny," #

# "więc lewy limit musi być równy prawemu limitowi, więc" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Odpowiedź:

Zapewnię szybsze rozwiązanie niż w http://socratic.org/s/aQZyW77G. W tym celu musimy polegać na pewnych znanych wynikach z rachunku różniczkowego.

Wyjaśnienie:

Definiować #h (x) = f (x) -g (x) #

Od #f (x) le g (x) #, mamy #h (x) le 0 #

W # x = x_0 #, mamy #f (x_0) = g (x_0) #, więc to #h (x_0) = 0 #

A zatem # x = x_0 # to maksimum funkcji różniczkowalnej #h (x) # wewnątrz interwał otwarty # (a, b) #. A zatem

#h ^ '(x_0) = 0 oznacza #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) oznacza #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #