Pokaż, że wszystkie sekwencje wielokątne generowane przez sekwencję szeregów arytmetycznych o wspólnej różnicy d, d w ZZ są sekwencjami wielokątnymi, które mogą być generowane przez a_n = an ^ 2 + bn + c?

Odpowiedź:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #

z # a = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (d + 2) # to wielokątna seria rang, # r = d + 2 #

przykład podano licznik pominięć sekwencji arytmetycznych # d = 3 #

będziesz miał #color (czerwony) (pięciokątny) # sekwencja:

# P_n ^ kolor (czerwony) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # dający # P_n ^ 5 = {1, kolor (czerwony) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

Wyjaśnienie:

Sekwencja wielokątna jest tworzona przez wykonanie # nth # suma sekwencji arytmetycznej. W rachunku byłaby to integracja.

Kluczową hipotezą jest więc:

Ponieważ sekwencja arytmetyczna jest liniowa (pomyśl równanie liniowe), to całkowanie sekwencji liniowej spowoduje powstanie sekwencji wielomianowej stopnia 2.

Teraz pokaż tę sprawę

Zacznij od naturalnej sekwencji (pomiń liczenie, zaczynając od 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

znajdź n-tą sumę #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #

#na# jest sekwencją arytmetyczną z

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #

Tak więc przy d = 1 sekwencja ma postać # P_n ^ 3 = a ^ 2 + bn + c #

z #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #

Teraz uogólnij dla dowolnego licznika pominięć #color (czerwony) d #, #color (czerwony) d w kolorze (niebieski) ZZ # i # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + kolor (czerwony) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + kolor (czerwony) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = kolor (czerwony) d / 2n ^ 2 + (2-kolor (czerwony) d) n / 2 #

Co jest ogólną formą # P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + bn + c #

z # a = kolor (czerwony) d / 2; b = (2-kolor (czerwony) d) / 2; c = 0 #