Co to jest int (cos (x)) ^ 4 dx?

Odpowiedź:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Wyjaśnienie:

Chociaż początkowo wydaje się być naprawdę irytującą całką, możemy w rzeczywistości wykorzystać tożsamości trygonalne, aby rozbić tę całkę na serię prostych całek, które są nam bardziej znane.

Tożsamość, z której będziemy korzystać, to:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

To pozwala nam manipulować naszym równaniem jako takim:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Możemy teraz ponownie zastosować naszą regułę, aby wyeliminować cos ^ 2 (2x) w nawiasie:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Teraz mamy dość prosty problem z integracją, możemy rozprowadzić całkę w nawias, aby:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Każda z tych całek wyzwalanych jest obsługiwana za pomocą prostej zasady #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

A zatem, # = 1/8 3x + 2 grzechy (2x) + 1/4 grzechu (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #