Czym jest funkcja falowa i jakie są wymagania, aby była dobrze zachowana, tzn. Aby właściwie reprezentowała rzeczywistość fizyczną?

Odpowiedź:

Funkcja falowa jest funkcją o złożonej wartości, której amplituda (wartość bezwzględna) daje rozkład prawdopodobieństwa. Nie zachowuje się jednak tak samo jak zwykła fala.

Wyjaśnienie:

W mechanice kwantowej mówimy o stanie systemu. Jednym z najprostszych przykładów jest cząstka, która może się obracać w górę lub w dół, na przykład elektron. Kiedy mierzymy spin systemu, mierzymy go, aby był w górę lub w dół. Stan, w którym jesteśmy pewni wyniku pomiaru, nazywamy stanem własnym (jeden stan w górę) # uarr # i jeden stan down # darr #).

Są też stany, w których nie jesteśmy pewni wyniku pomiaru, zanim go zmierzymy. Te stany nazywamy superpozycją i możemy je zapisać jako # a * uarr + b * darr #. Mamy tutaj # | a | ^ 2 # prawdopodobieństwo pomiaru # uarr #, i # | b | ^ 2 # prawdopodobieństwo pomiaru # darr #. To oczywiście oznacza # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Pozwalamy # a, b # aby być liczbami zespolonymi, powód tego nie wynika bezpośrednio z tego przykładu, ale w kontekście funkcji falowej będzie to bardziej jasne. Najważniejsze jest to, że jest więcej stanów niż ten, który daje te same prawdopodobieństwa pomiaru spinów.

Teraz możemy spróbować przypisać funkcję do tego stanu wirowania. Ponieważ istnieją tylko dwa wyniki pomiaru spinów, mamy funkcję, która ma tylko dwa możliwe wejścia. Jeśli wywołamy tę funkcję # psi # (jest to bardzo konwencjonalny symbol używany do funkcji wavefuntion), ustawiliśmy #psi (uarr) = a # i #psi (darr) = b #.

Teraz przechodzimy do funkcji wavefunction. Jednym aspektem cząstki jest oczywiście jej położenie. Podobnie jak w przypadku spinów, możemy zmierzyć różne wartości dla lokalizacji i możemy mieć stany, w których wynik pomiaru nie jest wcześniej ustalony. Ponieważ mamy niezliczoną ilość nieskończoności miejsc, w których może znajdować się cząstka, zapisując ten stan jako # a * „tutaj” + b * „tam” # nie zrobi. Jednak idea funkcji, której użyliśmy powyżej, ma. Więc dla każdej lokalizacji # x #, mamy złożoną wartość #psi (x) #. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa cząstki jest teraz podawana przez # | psi (x) | ^ 2 #.

Mówiąc uczciwie, historycznie idea funkcji falowej jest starsza niż idea wirowania, ale myślę, że zrozumienie idei spinów w pewnym stopniu pomaga w zrozumieniu funkcji falowej.

Po pierwsze, dlaczego kompleks funkcji wavefunction jest ceniony? Pierwszy powód można znaleźć w idei interferencji. Funkcja falowa cząstki może zakłócać samą siebie. Ta interferencja ma związek z sumowaniem funkcji falowych, jeśli funkcje falowe dają taką samą wartość bezwzględną w pewnym punkcie, to prawdopodobieństwo pomiaru cząstki wokół tego punktu jest podobne. Jednak wartości funkcji mogą być różne, jeśli są takie same, dodanie ich spowoduje powstanie amplitudy lub gęstości prawdopodobieństwa 4 (#|2|^2#) razy większa (interferencja konstruktywna), a jeśli różnią się znakiem, negują się wzajemnie (zakłócenia niszczące). Jednak może się również różnić na przykład czynnikiem #ja#, co oznacza, że gęstość prawdopodobieństwa staje się #2# razy większy w tym momencie. Wiemy, że mogą wystąpić wszystkie te zakłócenia. To wskazuje na złożoną funkcję falową opisaną wcześniej.

Drugi powód można znaleźć w równaniu Schrödingera. Początkowo sądzono, że te funkcje falowe zachowują się jak fale klasyczne. Jednakże, gdy Schrödinger próbował opisać zachowanie tych fal, a przynajmniej ich ewolucję w czasie, odkrył, że równanie rządzące falami klasycznymi nie było odpowiednie. Aby działał, musiał wprowadzić do równania liczbę zespoloną, co prowadzi do wniosku, że sama funkcja musi być również złożona, a kolejność pochodnych występujących w równaniu różni się od klasycznego równania falowego.

Ta różnica w równaniach odpowiada również na twoje drugie pytanie. Ponieważ ewolucja funkcji falowej różni się tak bardzo od ewolucji fal klasycznych, nie możemy używać tych samych metod, które stosujemy w klasycznej fizyce falowej. Istnieją oczywiście argumenty geometryczne, których można użyć, ale nie wystarczy to do opisania wszystkich zjawisk w fizyce kwantowej. Poza tym, nawet jeśli funkcja wave daje dużo informacji o stanie cząstki, nic nie mówi o jej wirowaniu, ponieważ spin i lokalizacja obserwowalności mają niewiele wspólnego ze sobą.

Być może błędnie interpretuję to, co rozumiesz przez geometryczną naturę. Czy mógłbyś podać przykład tego, co masz na myśli. Być może wtedy mógłbym ci pomóc dalej.

The funkcja falowa reprezentuje stan kwantowego układu mechanicznego, takiego jak atom lub cząsteczka.

Może być reprezentowany jako jeden # psi #, the niezależny od czasu funkcja falowa, lub # Psi #, the zależne od czasu funkcja falowa.

Ponieważ fala funkcja ewidentnie reprezentuje system, który zachowuje się jak fala (to nie przypadek, że nazywa się fala funkcja!), normalnie oczekiwalibyśmy nieograniczony funkcja falowa nie ma granic. Rozważ to # sinx # i # cosx #, dwie funkcje, które są wyraźnie falowe, mają domeny # (- oo, oo) #.

PRZYKŁAD: FUNKCJA FALOWA DLA ORBITALI

Weźmy jednak na przykład orbitale. Musi być zestaw warunki brzegowe dla orbitalu, ponieważ oczywiście orbitale nie są nieskończenie duże.

Funkcja falowa może przedstawiać liniowa kombinacja orbitali atomowych formować orbitale molekularne:

#color (niebieski) (psi _ („MO”)) = sum_ (i) c_iphi_i ^ „AO” #

# = kolor (niebieski) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +.

gdzie # c_i # jest współczynnik rozszerzalności wskazujący na wkład każdej orbity atomowej w dany orbital molekularny, o którym mowa, oraz # phi_i ^ "AO" # jest eksperymentalna / próbna funkcja falowa dla każdego orbitalu atomowego.

Ponieważ funkcja falowa musi być w stanie reprezentować orbitę, musi mieć promień dodatni (#r> 0 #) i funkcja falowa musi być pojedynczy -cenny, Zamknięte , ciągły , prostokątny do wszystkich powiązanych funkcji falowych, i normalizowalny .

Innymi słowy, musi przejść test linii pionowej, mieć skończony obszar pod krzywą, nie mieć skoków / nieciągłości / asymptot / przerw i spełniać następujące dwa równania:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(całka funkcji falowej i jej złożonego koniugatu to #0# jeśli funkcje fali są różne)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(całka funkcji falowej i jej złożonej koniugacji jest znormalizowana tak, że jest równa #1# jeśli funkcje fali są takie same oprócz znaku # pmi #)

Jednym z przykładów równania dla funkcji falowej we współrzędnych sferycznych dla atomu wodoru jest:

#color (niebieski) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = kolor (niebieski) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Pomyśleć, że rzeczywiście spędziłem czas, aby to normalizować. Poświęciłem nawet trochę czasu na sprawdzenie ortogonalności z pozostałymi dwoma # 2p # funkcje falowe.: P

Na wszelki wypadek tutaj znajduje się dodatek do tego, co powyżej umieściłem w Scratchpads.

#' '#

Normalizacja

The # 2p_z # atomowa funkcja fali orbitalnej to:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Jest # 2p_z # funkcja falowa naprawdę znormalizowany? DOWIEDZMY SIĘ!

# Mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (zielony) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Teraz, badając tylko część promieniową, która jest szaloną częścią … niech rozpocznie się poczwórna Integracja przez Części!

OCENA KOMPONENTU RADIALNEGO FUNKCJI FALOWEJ

Część 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Pozwolić:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Część 2

Pozwolić:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3e e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Część 3

Pozwolić:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Część 4

Pozwolić:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))dr}}#

ROZSZERZENIE / UPROSZCZENIE

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

FORMA OCENY-GOTÓW

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Pierwsza połowa anuluje być #0#:

# = anuluj ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Druga połowa upraszcza być # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = anuluj (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) anuluj ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + anuluj (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + anuluj (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + anuluj (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Teraz ponownie zbadajmy funkcję falową jako całość …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (anuluj (32) anuluj (pi)) anuluj ((Z / a_0) ^ 5) (anuluj (16) anuluj ((a_0 / Z) ^ 5)) (anuluj (2) anuluj (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (niebieski) (1 = 1) #

TAK! JEDNA JEST RÓWNA! Mam na myśli…

Funkcja falowa jest rzeczywiście znormalizowana!:RE

Udowodnienie wzajemnej ortogonalności dla funkcji fali 2p

Wybierzmy następujące funkcje falowe:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Aby pokazać, że są ortogonalne, musimy pokazać przynajmniej jedną z nich:

#int _ ("cała przestrzeń") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Z indukcji możemy implikować resztę, ponieważ składowe promieniowe są identyczne. Innymi słowy:

# Mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (zielony) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2theateracosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Część promieniowa okazuje się być # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Dokonajmy więc oceny części kątowych.

The # theta # część:

#color (zielony) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Pozwolić:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = kolor (zielony) (0) #

A teraz # phi # część:

#color (zielony) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Pozwolić:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = kolor (zielony) (0) #

Dlatego mamy ogólnie:

#color (niebieski) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2tetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = anuluj (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = kolor (niebieski) (0) #

Od

#int _ ("cała przestrzeń") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # i # 2p_x # orbitale atomowe są ortogonalne.

Naprawdę, główna różnica polega na użyciu # 2p_y # równanie polega na tym, że dostajesz:

#color (zielony) ("Stałe" int_ (0) ^ (oo) "Te same rzeczy" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) 0) #

A więc:

#color (niebieski) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = kolor (niebieski) (0) #

Z mnożenia #0# przez pozostałe całki, więc cała całka znika i:

#int _ ("cała przestrzeń") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Więc # 2p_x # i # 2p_y # orbitale atomowe są ortogonalne.

Wreszcie, dla # 2p_y # vs. # 2p_z #:

#color (zielony) ("Stałe" int_ (0) ^ (oo) "Te same rzeczy" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2theachette theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) 0) #

Znamy to # theta # całka sprzed:

#color (niebieski) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = kolor (niebieski) (0) #

I tak cała całka znika ponownie, a nawet # 2p_y # i # 2p_z # orbitale są również ortogonalne!