Odpowiedź:
Środek: #(2,-1)#
Wierzchołki: # (2, 1/2) i (2, -5 / 2) #
Werteksy: # (1, -1) i (3, -1) #
Ogniska: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) i (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Ekscentryczność: #sqrt (5) / 3 #
Wyjaśnienie:
Technikę, której chcemy użyć, nazywa się ukończeniem kwadratu. Użyjemy go na # x # najpierw terminy, a następnie # y #.
Zmień na
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Koncentruje się na # x #, podziel przez # x ^ 2 # współczynnik i dodaj kwadrat połowy współczynnika # x ^ 1 # termin dla obu stron:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Podziel przez # y ^ 2 # współczynnik i dodać kwadrat połowy współczynnika # y ^ 1 # termin dla obu stron:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Podzielić przez #9/4# ułatwiać:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Ogólne równanie jest
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
gdzie # (a, b) # jest centrum i #h, k # są osią pół-mniejszą / główną.
Odczyt centrum daje #(2, -1)#.
W tym przypadku # y # kierunek ma większą wartość niż kierunek # x #, więc elipsa zostanie rozciągnięta w # y # kierunek. # k ^ 2> h ^ 2 #
Wierzchołki uzyskuje się przesuwając w górę głównej osi od środka. To znaczy # + - sqrt (k) # dodane do współrzędnej y centrum.
To daje # (2, 1/2) i (2, -5/2) #.
Wierzchołki leżą na mniejszej osi. Dodajemy # + - sqrt (h) # do współrzędnej x centrum, aby je znaleźć.
# (1, -1) i (3, -1) #
Teraz, aby znaleźć ogniska:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 oznacza c = + -sqrt (5) / 2 #
Ogniska będą usytuowane wzdłuż linii #x = 2 # w # + - sqrt (5) / 2 # z #y = -1 #.
#w związku z tym# foci w # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) i (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
W końcu znaleziono mimośród
# e = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
