Liniowy łańcuch składa się z 20 identycznych ogniw. Każde łącze może być wykonane w 7 różnych kolorach. Ile jest fizycznie różnych łańcuchów?

Liniowy łańcuch składa się z 20 identycznych ogniw. Każde łącze może być wykonane w 7 różnych kolorach. Ile jest fizycznie różnych łańcuchów?
Anonim

Dla każdego z 20 linków istnieje 7 opcji, za każdym razem wybór jest niezależny od poprzednich wyborów, więc możemy wziąć produkt.

Całkowita liczba wyborów = #7*7*7…*7 = = 7^(20)#

Ale ponieważ łańcuch może zostać odwrócony, musimy policzyć różne sekwencje.

Po pierwsze, zliczamy liczbę sekwencji symetrycznych: ostatnie 10 łączy pobiera odbicie lustrzane pierwszych 10 linków.

Liczba sekwencji symetrycznych = liczba sposobów, więc wybierz pierwsze 10 łączy = #7^(10)#

Z wyjątkiem tych sekwencji symetrycznych, niesymetryczne sekwencje można odwrócić, aby utworzyć nowy łańcuch. Oznacza to, że tylko połowa niesymetrycznych sekwencji jest unikalna.

Liczba unikalnych sekwencji = (liczba niesymetrycznych) / 2 + Liczba sekwencji symetrycznych

#= (7^20 - 7^10)/2 + 7^10 = 39896133290043625#