Liczba sqrt (104sqrt6 + 468sqrt10 + 144sqrt15 + 2006 może być zapisana jako asqrt2 + bsqrt3 + csqrt5, gdzie a, b i c są dodatnimi liczbami całkowitymi. Oblicz produkt abc?

Liczba sqrt (104sqrt6 + 468sqrt10 + 144sqrt15 + 2006 może być zapisana jako asqrt2 + bsqrt3 + csqrt5, gdzie a, b i c są dodatnimi liczbami całkowitymi. Oblicz produkt abc?
Anonim

Odpowiedź:

# abc = 1872

Wyjaśnienie:

Jeśli się uwzględni

# sqrt {104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006} = a sqrt2 + b sqrt3 + c sqrt5 #

# 104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006 = (a sqrt2 + b sqrt3 + c sqrt5) ^ 2 #

# 104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006 = 2a ^ 2 + 3b ^ 2 + 5c ^ 2 + ab srt6 + ac sqrt10 + bc sqrt15 #

Porównując współczynniki # sqrt2, sqrt3 # & #srt5 # po obu stronach mamy

# ab = 104 #

# ac = 468 #

# bc = 144 #

Otrzymujemy mnożenie powyżej trzech równań

#ab cdot acot bc = 104 cdot 468 cdot 144 #

# (abc) ^ 2 = 104 cdot 468 cdot 144 #

# abc = sqrt {104 cdot 468 cdot 144} #

# abc = 12 cdot156 sqrt2 #

# abc = 1872