Jak przetestować konwergencję dla 1 / ((2n + 1)!)?

Odpowiedź:

W takim przypadku „przetestuj zbieżność seria: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Odpowiedź brzmi: to #color (niebieski) „zbieżny” #

Wyjaśnienie:

Aby się dowiedzieć, możemy użyć testu proporcji.

To znaczy, jeśli # „U” _ „n” # jest # n ^ "th" # termin tej serii

Wtedy, jeśli to pokażemy #lim_ (nrarr + oo) abs („U” _ („n” +1) / „U” _n) <1 #

oznacza to, że seria zbiega się

Z drugiej strony, jeśli #lim_ (nrarr + oo) abs ((„U” _ („n” +1)) / „U” _n)> 1 #

oznacza to, że seria rozbiega się

W naszym przypadku

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# i

# "U" _ ("n" +1) = 1 / (2 (n + 1) +1!) = 1 / (2n + 3!) #

Stąd, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) ÷ 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

#"Zauważ, że":#

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)! #

Tak jak: # 10! = 10xx9xx8! #

Odejmujemy #1# za każdym razem, aby uzyskać następny

Więc mamy, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Następnie testujemy, #lim_ (nrarr + oo) abs („U” _ („n” +1) / „U” _n) #

# = lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 ”” # i #0# jest mniej niż #1#

Stąd całkiem bezpiecznie jest wnioskować, że seria #color (niebieski) „zbieżny”! #