Odpowiedź:
#(-9/14,3/28)#
Wyjaśnienie:
Zaczynamy od # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Nie jest to ani forma standardowa, ani forma wierzchołka i zawsze wolę pracować z jedną z tych dwóch form. Więc moim pierwszym krokiem jest przekształcenie tego bałaganu w standardową formę. Robimy to, zmieniając równanie, aż będzie wyglądało # y = ax ^ 2 + bx + c #.
Po pierwsze, mamy do czynienia z # (x + 1) ^ 2 #. Przepisujemy go jako # (x + 1) * (x + 1) #i upraszczaj korzystanie z dystrybucji, a to wszystko daje nam # x ^ 2 + x + x + 1 #lub # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Teraz mamy # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Jeśli upraszczamy # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, co nas zostawia # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Teraz możemy połączyć podobne warunki. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # daje nam # 7x ^ 2 #, i # 6x + 3x # równa się # 9x #. Teraz mamy # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, który jest w standardowej formie. Nie bądź jednak zbyt komfortowy, ponieważ będziemy konwertować że w formie wierzchołka w ciągu minuty.
Aby rozwiązać formularz wierzchołka, wypełnimy kwadrat. Moglibyśmy również użyć wzoru lub wykresu kwadratowego, które mamy teraz, ale gdzie jest w tym zabawa? Ukończenie kwadratu jest trudniejsze, ale jest to metoda, której warto się nauczyć, ponieważ jest dość szybka, gdy już to zrozumiesz. Zacznijmy.
Po pierwsze, musimy się dostać # x ^ 2 # samodzielnie (bez współczynników z wyjątkiem liczby #1# dozwolony). W naszym przypadku musimy wziąć pod uwagę a #7# ze wszystkiego. To nam daje # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Od tego momentu musimy przyjąć średnioterminowy termin # (9 / 7x) # i podziel współczynnik przez #2#, który jest #9/14#. Potem ustawiamy się że i mamy #81/196#. Dodajemy to do naszego równania, tak jak poniżej: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
CZEKAĆ!!! Właśnie utknęliśmy losową liczbę w równaniu! Nie możemy tego zrobić! Jak możemy to naprawić? A co, jeśli po prostu … odejmujemy właśnie dodaną liczbę? Wtedy wartość się nie zmieniła #(81/196-81/196=0)#, więc nie złamaliśmy żadnych zasad, prawda? Dobra, zróbmy to.
Teraz mamy # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Dobrze, teraz jesteśmy dobrzy. Mimo to powinniśmy upraszczać, ponieważ # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # jest długi i uciążliwy. Więc, #-81/196+3/7# jest #3/196#i możemy przepisać # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # tak jak # (x + 9/14) * (x + 9/14) #lub # (x + 9/14) ^ 2 #. Być może zastanawiasz się, dlaczego się nie połączyłem #3/196# z #81/196#. Chcę stworzyć idealny kwadrat # (x + 9/14) ^ 2 #. To właściwie cały cel ukończenia placu. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # nie był czynnikowalny, więc znalazłem numer ((9/2) / 2 ^ 2), który sprawia, że jest on czynnikowalny. Teraz mamy doskonały kwadrat z niewygodnymi, niedoskonałymi rzeczami na końcu.
Mamy teraz # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Już prawie skończyliśmy, ale wciąż możemy zrobić jeszcze jedną rzecz: rozpowszechniać #7# do #3/196#. To nam daje # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, a teraz mamy nasz wierzchołek! Z # 7 (x + kolor (zielony) (9/14)) ^ 2 kolor (czerwony) (+ 3/28) #, dostajemy obie nasze #color (zielony) (x) #-wartość i nasza #color (czerwony) (y) #-wartość. Nasz wierzchołek jest # (kolor (pomarańczowy) (-) kolor (zielony) (9/14), kolor (czerwony) (3/28)) #. Zauważ, że znak #color (zielony) (x) # komponent jest naprzeciwko znaku w równaniu.
Aby sprawdzić naszą pracę, możemy po prostu wykreślić równanie i znaleźć wierzchołek w ten sposób.
wykres {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Wierzchołek jest #(.643,.107)#, która jest zaokrągloną formą dziesiętną #(-9/14, 3/28)#. Mieliśmy rację! Dobra robota.
