Pokaż, że int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Chcemy pokazać

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Jest to całkiem „brzydka” całka, więc naszym podejściem nie będzie rozwiązanie tej całki, ale porównanie jej z „ładniejszą” całką

Mamy to teraz dla wszystkich pozytywnych liczb rzeczywistych #color (czerwony) (sin (x) <= x) #

Zatem wartość całki będzie również większa dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, jeśli ją zastąpimy # x = sin (x) #, więc jeśli możemy pokazać

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Wtedy nasze pierwsze stwierdzenie musi być prawdziwe

Nowa całka jest prostym problemem substytucji

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Ostatnim krokiem jest zauważenie tego #sin (x) = x => x = 0 #

Dlatego możemy zakończyć

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #