Jak to zintegrujesz? dx (x²-x + 1) Utknąłem w tej części (przesłane zdjęcie)

Odpowiedź:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Wyjaśnienie:

Noszenie …

Pozwolić # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Używając funkcji pierwotnej, co powinno być poświęcone pamięci …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Jest to podstępna mała integralna część, a rozwiązanie nie wydaje się na początku oczywiste. Ponieważ jest to ułamek, możemy spróbować rozważyć zastosowanie techniki częściowych frakcji, ale szybka analiza pokazuje, że nie jest to możliwe, ponieważ # x ^ 2-x + 1 # nie jest czynnikowalny.

Spróbujemy wprowadzić tę integralną część do formy, którą rzeczywiście możemy zintegrować. Zwróć uwagę na podobieństwo między # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # i # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; wiemy, że ta ostatnia całka ocenia # arctanx + C #. Postaramy się więc # x ^ 2-x + 1 # w formie #k (x-a) ^ 2 + 1 #, a następnie zastosuj # arctanx # reguła.

Będziemy musieli wypełnić kwadrat # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(bardzo brudny, wiem)

Teraz, gdy mamy go w naszej pożądanej formie, możemy postępować w następujący sposób:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #