Czy ktoś może to udowodnić?

Odpowiedź:

Użyj prawa sinusowego dla trójkątów i niektórych prostych tożsamości trygonometrycznych.

Wyjaśnienie:

Z sinusoidalnego trójkąta

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

łatwo to zauważyć

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 = {sin ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + sin C)} / {sin ^ 2A} = {2 grzech ({BC} / 2) cos ({B + C} / 2) razy 2 grzech ({B + C} / 2) cos ({BC} / 2)} / sin ^ 2A = {sin (BC)) sin (B + C)} / sin ^ 2A = {sin (BC) sin (pi-A)} / sin ^ 2A = sin (BC) / sinA #

Po to aby

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 razy sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

Pozostałe dwa terminy można uzyskać z tego, po prostu cyklicznie przepuszczając #ZA#, #B# i #DO#. Dodanie trzech terminów prowadzi do dowodu w sposób trywialny.

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

Pierwsza kadencja # LHS = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ 2A-sin ^ 2B) / (4R ^ 2 * sin ^ 2A) * sin2A #

# = (sin (B + C) sin (B-C)) / sin ^ 2A * sin2A #

# = (sinAsin (B-C)) / (sinA * sinA) * 2sinA * cosA #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = sin (A + B-C) -sin (A-B + C) #

# = sin (pi-2C) -sin (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Podobnie drugi termin# = sin2A-sin2B # i

Trzeci termin# = sin2B-sin2A #

Cały # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Zauważ, że # sin ^ 2A-sin ^ 2B = sin (A + B) * sin (A-B) #

Odpowiedź:

Prosimy odnieść się do Wyjaśnienie.

Wyjaśnienie:

Wymagania wstępne: W zwykłej notacji dla # DeltaABC, #

Sine-Rule: # a / sinA = 2R, lub sinA = a / (2R) #.

Reguła Cosinus: # cosA = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2 bc) #.

Mamy, # (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * {2 * a / (2R) * (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2 bc)} #,

# = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2)} / (Rabc) #, # = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ 4-c ^ 4) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #.

Uzyskanie podobnych wyrażeń dla pozostałych warunków po lewej stronie

członek i dodając je, wynik jest następujący.