Pomóż mi w tym, jak to zrobić?

Odpowiedź:

#k = 3 #

Wyjaśnienie:

Wykorzystując właściwości wykładników, które # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # i # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, mamy

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3 k) * 3 ^ k #

A zatem #13!# jest podzielny przez # 24 ^ k # wtedy i tylko wtedy gdy #13!# jest podzielny przez # 2 ^ (3k) # i jest podzielny przez # 3 ^ k #.

Możemy powiedzieć największą moc #2# przez które #13!# jest podzielny, jeśli spojrzymy na jego czynniki, które są podzielne przez #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Ponieważ żaden z czynników nieparzystych nie przyczynia się do żadnych czynników #2#, mamy

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

gdzie # m # jest jakąś liczbą całkowitą nie podzielną przez #2#. Jako takie wiemy #13!# jest podzielny przez # 2 ^ (3k) # wtedy i tylko wtedy gdy #2^10# jest podzielny przez # 2 ^ (3k) #, znaczenie # 3k <= 10 #. Tak jak # k # jest liczbą całkowitą, to znaczy #k <= 3 #.

Następnie możemy sprawdzić, które czynniki #13!# są podzielne przez #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Jak żadne inne czynniki #13!# przyczynić się do jakichkolwiek czynników #3#, to znaczy

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

gdzie # n # jest jakąś liczbą całkowitą nie podzielną przez #3#. Jako takie wiemy #3^5# jest podzielny przez # 3 ^ k #, znaczenie #k <= 5 #.

Największa nieujemna liczba całkowita spełniająca ograniczenia #k <= 3 # i #k <= 5 # jest #3#, dając nam naszą odpowiedź # k = 3 #.

Kalkulator to zweryfikuje #(13!)/24^3 = 450450#, natomiast #(13!)/24^4=18768.75#