Jak wybrać dwie liczby, dla których suma ich pierwiastków kwadratowych jest minimalna, wiedząc, że iloczyn dwóch liczb jest?

Odpowiedź:

# x = y = sqrt (a) #

Wyjaśnienie:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "jest minimalny" #

# „Możemy pracować z mnożnikiem Lagrange'a L:” #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# „Uzyskiwanie wyników:” #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(po pomnożeniu przez x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => „MINIMUM” #

# „Teraz musimy jeszcze sprawdzić x = 0.” #

# „To jest niemożliwe, gdy x * y = 0 wtedy.” #

# „Więc mamy unikalne rozwiązanie” #

# x = y = sqrt (a) #

Odpowiedź:

Spróbuję przeprowadzić Cię przez poniższą metodę rozwiązania.

Wyjaśnienie:

Czego szukamy?

Dwie liczby. Nadajmy im imiona, # x # i # y #.

Przeczytaj pytanie.

Chcemy, aby suma pierwiastków kwadratowych była minimalna.

To mówi nam dwie rzeczy

(1) obie liczby są nieujemne (aby uniknąć wyobrażeń)

(2) Interesuje nas wartość # sqrtx + sqrty #

Przeczytaj pytanie.

Powiedziano nam również, że produkt # x # i # y # jest #za#.

Kto wybiera #za#?

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ćwiczenie mówi coś na ten temat #za# lub #b# lub #do#, bierzemy te jako stałe podane przez kogoś innego.

Możemy więc powiedzieć „produkt # x # i # y # jest #11#'

lub „produkt # x # i # y # jest #124#'.

Mamy rozwiązać wszystkie te problemy naraz # xy = a # dla pewnej stałej #za#.

Więc chcemy to zrobić # sqrtx + sqrty # jak najmniejsze trzymanie # xy = a # dla pewnej stałej #za#.

Wygląda to na problem optymalizacji i to jest jeden. Chcę więc, aby funkcja jednej zmiennej minimalizowała.

# sqrtx + sqrty # ma dwie zmienne, # x # i # y #

# xy = a # ma również dwie zmienne, # x # i # y # (Zapamiętaj #za# jest stałą)

Więc #y = a / x #

Teraz chcemy zminimalizować:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Znajdź pochodną, następnie liczbę krytyczną i przetestuj krytyczne liczby. Zakończ, znajdź # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Krytyczny # sqrta #

#f '(x) <0 # dla #x <sqrta # i #f '(x)> 0 # dla #x> sqrta #, więc #f (sqrta) # to minimum.

#x = sqrta # i #y = a / x = sqrta #

Odpowiedź:

# 2 root (4) (a) #

Wyjaśnienie:

Wiemy o tym #x_i> 0 # mamy

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} fr {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

następnie

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # następnie

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

ale # x_1x_2 = # następnie

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #