Odpowiedź:
Zacząć od
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) #
Zastąpmy sieczkę cosinusem.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Teraz bierzemy pochodną wrt x na BOTH SIDES!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Pochodna stałej wynosi zero, a pochodna jest liniowa!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Teraz korzystając z reguły produktu na pierwszych dwóch warunkach, które otrzymujemy!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Kolejne mnóstwo zabawy z zasadą łańcucha! Obejrzyj ostatni termin!
(robi też proste pochodne x)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Wykonywanie niektórych z tych pochodnych y, pochodnych xy i pochodnych cos (xy) również wykonuje regułę produktu i regułę łańcucha jeszcze raz w ostatniej części ostatniego terminu.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Uszyj trochę i dokończ wszystkie pochodne
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Teraz rozdziel się z terminem # dx / dy # i bez
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Przynieś wszystko bez # dy / dx # z jednej strony i zbieranie podobnych warunków z drugiej
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Podziel się, żeby znaleźć # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
To było bardzo długie!
Wyjaśnienie:
Wyszedłem z BARDZO długim wyjaśnieniem z prostym przykładem, ponieważ ukryte różnicowanie może być trudne, a zasada łańcucha jest bardzo ważna.
Musisz użyć około trzech reguł BIG Calculus, aby rozwiązać tę i trzy specyficzne pochodne funkcji.
1) Liniowość pochodnej.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Reguła produktu.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Zdecydowanie najważniejszą koncepcją w ukrytym różnicowaniu jest
reguła łańcucha. Dla funkcji złożonych, funkcje innych funkcji, #f (u (x)) # mamy, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Możesz to kontynuować
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, i tak dalej i dalej. Uwaga # dx / dx = 1 #.
Przykład: jeśli masz funkcję funkcji #f (u) # gdzie # u # jest funkcją # x #. to znaczy #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Tutaj #f (u) = sqrt (u) # i #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # odwołanie # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Wyrażenia dla określonych typów funkcji.
A) Jak wziąć pochodną funkcji mocy, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Jak wziąć pochodną # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- nudne co?
C) Jak wziąć pochodną #os (x) # bo # s (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Kluczem do ukrytego rozróżnienia jest użycie reguły łańcuchowej, aby przyjąć pochodną wrt x i funkcję zarówno x, jak i okręgu, jak koło.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
