Czym są produkty krzyżowe?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie …

Wyjaśnienie:

Kiedy napotkasz wektory w #3# wymiary to dwa sposoby pomnożenia dwóch wektorów razem:

Produkt krzyżowy

Napisany #vec (u) xx vec (v) #, to wymaga dwóch wektorów i wytwarza wektor prostopadły do obu z nich, lub wektor zerowy, jeśli #vec (u) # i #vec (v) # są równoległe.

Jeśli #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # i #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # następnie:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u_3v_2, kolor (biały) (.) u_3v_1-u_1v_3, kolor (biały) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Jest to czasami opisywane w kategoriach wyznacznika a # 3 xx 3 # macierz i trzy wektory jednostkowe #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((kapelusz (i), kapelusz (j), kapelusz (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

A co z podziałem?

Ani produkt kropkowany, ani produkt krzyżowy nie pozwalają na podział wektorów. Aby dowiedzieć się, jak podzielić wektory, możesz spojrzeć na czwartorzędy. Czwartorzędy tworzą a #4# wymiarowa przestrzeń wektorowa nad liczbami rzeczywistymi i ma arytmetykę z przemiennym mnożeniem, które można wyrazić jako kombinację produktu kropkowego i produktu krzyżowego. Właściwie jest to zła droga, ponieważ arytmetyka kwaternionów wyprzedza współczesną prezentację wektorów, kropek i produktów krzyżowych.

W każdym razie możemy powiedzieć, że kwaternion można zapisać jako kombinację części skalarnej i części wektorowej, z arytmetyką zdefiniowaną przez:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) + r_2 vec (v_1) + vec (v_1) xx vec (v_2)) #

Aby uzyskać bardzo interesującą rozmowę pokrewną, obejrzyj to …

Życie przed wektorami