Jak zintegrować int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx za pomocą podstawienia trygonometrycznego?

Odpowiedź:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Wyjaśnienie:

Rozwiązanie jest trochę długie !!!

Od podanego #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Zwróć na to uwagę # i = sqrt (-1) # liczba urojona

Odłóż na chwilę tę liczbę złożoną i przejdź do całki

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

wypełniając kwadrat i grupując:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Pierwsze podstawienie trygonometryczne: ##

Kąt ostry # w # z przeciwną stroną # = e ^ x + 10 # i obok #=1# z hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Pozwolić # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

i wtedy

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Całka staje się

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

z trygonometrii #sec w = 1 / cos w # i #tan w = sin w / cos w #

Całka staje się

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # i

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Drugie podstawienie trygonometryczne:

Pozwolić # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

i również # z = tan (w / 2) #

Trójkąt prawy: kąt ostry # w / 2 # z przeciwną stroną # = z #

Obok siebie #=1# i przeciwprostokątna # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Z trygonometrii: Przywoływanie wzorów pół-kątów

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

rozwiązywanie dla #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Również używając tożsamości #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

wynika, że

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

całka staje się

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Upraszczanie wyników integralnych do

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Wypełniając kwadrat:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Użyj teraz wzoru #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Pozwolić # u = z + 1/10 # i # a = sqrt101 / 10 # i włącznie z powrotem # i = sqrt (-1) #

Napisz ostateczną odpowiedź za pomocą oryginalnych zmiennych

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #