Proszę pomóż. Nie wiem, jak to zrobić szybko, bez mnożenia tego wszystkiego?

Odpowiedź:

Odpowiedź na (ja) jest #240#.

Odpowiedź na (ii) jest #200#.

Wyjaśnienie:

Możemy to zrobić za pomocą trójkąta Pascala, pokazanego poniżej.

(ja)

Ponieważ wykładnik jest #6#, musimy użyć szóstego rzędu w trójkącie, który zawiera #color (fioletowy) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # i #color (fioletowy) 1 #. Zasadniczo użyjemy #color (niebieski) 1 # jako pierwszy termin i #color (czerwony) (2x) # jako drugi. Następnie możemy utworzyć następujące równanie. Współczynnik pierwszego terminu wzrasta o #1# za każdym razem wykładnik drugiego terminu zmniejsza się o #1# z każdym terminem z trójkąta.

# (kolor (fioletowy) 1 * kolor (niebieski) (1 ^ 0) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 6)) + (kolor (fioletowy) 6 * kolor (niebieski) (1 ^ 1) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 5)) + (kolor (fioletowy) 15 * kolor (niebieski) (1 ^ 2) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 4)) + (kolor (fioletowy) 20 * kolor (niebieski) (1 ^ 3) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 3)) + (kolor (fioletowy) 15 * kolor (niebieski) (1 ^ 4) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 2)) + (kolor (fioletowy) 6 * kolor (niebieski) (1 ^ 5) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 1)) + (kolor (fioletowy) 1 * kolor (niebieski) (1 ^ 6) * kolor (czerwony) ((2x) ^ 0)) #

Następnie możemy to uprościć.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Dlatego współczynnik # x ^ 4 # jest #240#.

(ii)

Znamy już rozszerzenie # (1 + 2x) ^ 6 #. Teraz możemy pomnożyć te dwa wyrażenia razem.

#color (brązowy) (1-x (1/4)) * kolor (pomarańczowy) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Współczynnik # x # w # 1-x (1/4) # jest #1#. Wiemy więc, że podniesie wartości wykładników w innym wyrażeniu o #1#. Ponieważ potrzebujemy współczynnika # x ^ 4 #, musimy się tylko pomnożyć # 160x ^ 3 # przez # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Teraz musimy to dodać # 240x ^ 4 #. To jedna z części rozwiązania # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, ze względu na mnożenie przez #1#. Jest to istotne, ponieważ ma także wykładnik #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Dlatego współczynnik wynosi #200#.

Odpowiedź:

ja. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Wyjaśnienie:

Rozszerzenie dwumianowe dla # (a + bx) ^ c # może być reprezentowany jako:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

W części 1 potrzebujemy tylko kiedy # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

W części 2 potrzebujemy również # x ^ 3 # termin z powodu # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #