Udowodnij, że Cos ^ 6 (x) + sin ^ 6 (x) = 1/8 (5 + 3cos4x)?

Użyjemy

# rarra ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) #

# rarra ^ 2 + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 + 2ab #

# rarrsin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

# rarr2cos ^ 2x = 1 + cos2x # i

# rarr2sin ^ 2x = 1-cos2x #

# LHS = cos ^ 6 (x) + sin ^ 6 (x) #

# = (cos ^ 2x) ^ 3 + (sin ^ 2x) ^ 3 #

# = cos ^ 2x + sin ^ 2x (cos ^ 2x) ^ 2-cos ^ 2x * sin ^ 2x + sin ^ 2x) ^ 2 #

# = 1 * (cos ^ 2x-sin ^ 2x) ^ 2 + 2 cos ^ 2x * sin ^ 2x-cos ^ 2x * sin ^ 2x #

# = cos ^ 2 (2x) + cos ^ 2x * sin ^ 2x #

# = 1/4 4 cos ^ 2 (2x) + 4 cos ^ 2x * sin ^ 2x #

# = 1/4 2 (1 + cos4x) + sin ^ 2 (2x) #

# = 2 / (4 * 2) 2 + 2cos4x + sin ^ 2 (2x) #

# = 1/8 4 + 4cos4x + 2sin ^ 2 (2x) #

# = 1/8 4 + 4cos4x + 1-cos4x #

# = 1/8 5 + 3cos4x = RHS #

Jeśli A + B + C = 90 °, udowodnij, że sin ^ 2 (A / 2) + sin ^ 2 (B / 2) + sin ^ 2 (C / 2) = 1-2sinA.sinB.sinC?

Zabawa. Sprawdźmy to, zanim spędzimy za dużo czasu. Dla najłatwiejszych liczb niech A = 90 ^ circ, B = C = 0 ^ circ. Otrzymujemy grzech ^ 2 45 ^ circ = 1/2 po lewej i 1 - 2 sin 90 ^ sin sin 0 sin 0 = 1 po prawej. To nieprawda. Cue puszczony puzon, wah wah waaah.

Udowodnij, że (cos (33 ^ @) - cos (57 ^ @)) / (sin (10.5 ^ @) - sin (34,5 ^ @)) = - sqrt (2)?

Nie można tego dowieść, ponieważ: (cos (33 ^ @) - cos (57 ^ @)) / (grzech (10,5 ^ @) - grzech (34,5 ^ @)) = - 0,765

Udowodnij to: (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) = 2/3?

LHS = (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) = (1 - ((sin ^ 2x) ^ 2 + (cos ^ 2x) ^ 2)) / (1 - ((sin ^ 2x) ^ 3 + (cos ^ 2x) ^ 3)) = (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 2-2sin ^ 2cos ^ 2x)) / (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3-3sin ^ 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) = (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1 - (sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) = (1-1 ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1-1 ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x) = (2sin ^ 2cos ^ 2x) / (3sin ^ 2xcos ^ 2x) = 2/3 = RHS Udowodniono W kroku 3 użyto następujących wzorów a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab i a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab