Udowodnij to: (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) = 2/3?

# LHS = (1-sin ^ 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) #

# = (1 - ((sin ^ 2x) ^ 2 + (cos ^ 2x) ^ 2)) / (1 - ((sin ^ 2x) ^ 3 + (cos ^ 2x) ^ 3)) #

# = (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 2-2sin ^ 2cos ^ 2x)) / (1 - ((sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3-3sin ^ 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) #

# = (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1- (sin ^ 2x + cos ^ 2x) ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x (sin ^ 2x + cos ^ 2x)) #

# = (1-1 ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1-1 ^ 3 + 3s ^ 2xcos ^ 2x) #

# = (2sin ^ 2cos ^ 2x) / (3sin ^ 2xcos ^ 2x) = 2/3 = RHS #

Udowodniono

W kroku 3 używane są następujące wzory

# a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab #

i

# a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) #

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie. Potwierdziłem każdy krok tego dowodu za pomocą www.WolframAlpha.com

Wyjaśnienie:

Pomnóż obie strony przez # 3 (1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x)) #

# 3-3sin ^ 4 (x) -3cos ^ 4 (x) = 2-2 w ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

Zastąpić # -3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2 "dla" -3sin ^ 4 (x) #

# 3-3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2-3 cos ^ 4 (x) = 2-2 cale ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

Pomnóż kwadrat:

# 3-3 (1 - 2 cos ^ 2 (x) + cos ^ 4 (x)) - 3 cos ^ 4 (x) = 2-2 cale ^ 6 (x) -2 cosy ^ 6 (x) #

Rozpowszechnij -3:

# 3-3 + 6 cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 2-2 cale ^ 6 (x) -2 cosy ^ 6 (x) #

Połącz podobne terminy:

# 6cos ^ 2 (x) -6 cos ^ 4 (x) = 2-2 cala ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

Podziel obie strony przez 2:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

Zastąpić # - (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3 "for" -sin ^ 6 (x) #

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1- (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3-cos ^ 6 (x) #

Rozwiń kostkę:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1- (1 - 3 cos ^ 2 (x) + 3 cos ^ 4 (x) -cos ^ 6 (x)) - cos ^ 6 (x) #

Rozdziel -1:

# 3cos ^ 2 (x) -3cos ^ 4 (x) = 1-1 + 3 cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) + cos ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

Połącz podobne terminy:

# 3cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 3 cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) #

Prawa strona jest taka sama po lewej stronie. co było do okazania