Jakie jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Równanie charakterystyczne to:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "dysk quada. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# „więc mamy dwa złożone rozwiązania, są one” #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Tak więc ogólne rozwiązanie równania jednorodnego to:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) grzech (sqrt (15) x / 2) #

# „Szczególnym rozwiązaniem dla pełnego równania jest„ #

# "y = x," #

# „Łatwo to zobaczyć”. #

# „Więc kompletne rozwiązanie to:” #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Odpowiedź:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Wyjaśnienie:

Mamy:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Lub Alternatywnie:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

To jest trzeci uporządkuj liniowe niejednorodne równanie różniczkowania ze stałymi współczynnikami. Standardowym podejściem jest znalezienie rozwiązania, # y_c # równania jednorodnego, patrząc na równanie pomocnicze, które jest równaniem wielomianowym ze współczynnikami pochodnych., a następnie znalezienie niezależnego rozwiązania szczególnego, # y_p # równania niejednorodnego.

Korzenie równania pomocniczego określają części rozwiązania, które, jeśli są liniowo niezależne, to superpozycja rozwiązań tworzy pełne rozwiązanie ogólne.

• Prawdziwe wyraźne korzenie # m = alfa, beta, … # dostarczy liniowo niezależne rozwiązania formularza # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Prawdziwe powtarzające się korzenie # m = alfa #, przyniesie rozwiązanie formularza # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # gdzie wielomian ma taki sam stopień jak powtórzenie.
• Złożone korzenie (które muszą występować jako pary koniugatów) # m = p + -qi # dostarczy pary liniowo niezależnych rozwiązań formy # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Szczególne rozwiązanie

Aby znaleźć konkretne rozwiązanie równania niejednorodnego:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) z #f (x) = 4 # ….. C

Następnie jako #f (x) # jest wielomianem stopnia #0#szukalibyśmy rozwiązania wielomianowego o tym samym stopniu, tj. postaci #y = a #

Jednak takie rozwiązanie już istnieje w rozwiązaniu CF i dlatego musi rozważyć potencjalne rozwiązanie formularza # y = ax #, Gdzie stałe #za# ma być określona przez bezpośrednie zastąpienie i porównanie:

Różnicowanie # y = ax # wrt # x # dostajemy:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Zastępując te wyniki w DE A otrzymujemy:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

I tak tworzymy szczególne rozwiązanie:

# y_p = x #

Ogólne rozwiązanie

Który następnie prowadzi do GS A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Zauważ, że to rozwiązanie ma #3# stałe integracji i #3# rozwiązania liniowo niezależne, stąd przez twierdzenie o istnieniu i unikalności ich superpozycja jest rozwiązaniem ogólnym