Jaka jest prędkość cząstki dla t = 0 do t = 10, której przyspieszenie wynosi veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Odpowiedź:

Średnia prędkość: # 6.01 xx 10 ^ 3 # # "m / s" #

Prędkość w czasie #t = 0 # # "s" #: #0# # "m / s" #

Velocity at #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # # "m / s" #

Wyjaśnienie:

Zakładam, że masz na myśli Średnia prędkość z #t = 0 # do #t = 10 # # "s" #.

Otrzymujemy składniki przyspieszenia cząstki i poprosiliśmy o znalezienie średniej prędkości w pierwszym #10# sekundy jego ruchu:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

gdzie

• #v_ "av" # jest wielkością średniej prędkości i

• # Deltar # to zmiana pozycji obiektu (z #0# # "s" # do #10# # "s" #).

Musimy zatem znaleźć pozycję obiektu w tych dwóch czasach.

Musimy wyprowadzić równanie pozycji z tego równania przyspieszenia, integrując je dwa razy:

Pierwsza integracja:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (prędkość)

Druga integracja:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) kapelusz # (pozycja)

Zakłada się, że początkowa pozycja znajduje się u źródła, więc podłączmy się #10# dla # t # w równaniu pozycji:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Możemy następnie podzielić równanie średniej prędkości na komponenty:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = kolor (czerwony) (250 # #color (czerwony) („m / s” #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = kolor (niebieski) (250/3 # #color (niebieski) („m / s” #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = kolor (zielony) (- 6000 # #color (zielony) („m / s” #

Używając tych komponentów, możemy znaleźć wielkość wektora średniej prędkości:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = kolor (fioletowy) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (fioletowy) („m / s” #

(Tutaj jest chwilowy sekcja prędkości).

Aby znaleźć chwilowe prędkości w #t = 0 # i #t = 10 # # "s" #, najpierw podłączmy te czasy do wcześniej zintegrowanego równania prędkości:

• #t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hatk #

# = kolor (czerwony) (0 # #color (czerwony) („m / s” #

• #t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

Wielkość tej prędkości wynosi zatem

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = kolor (niebieski) (2,40 xx 10 ^ 4 # #color (niebieski) („m / s” #