Co to jest 0 do potęgi 0?

Odpowiedź:

To jest właściwie kwestia debaty. Niektórzy matematycy mówią #0^0 = 1# a inni mówią, że jest niezdefiniowany.

Wyjaśnienie:

Zobacz dyskusję na Wikipedii:

Potęgowanie: zero do potęgi zera

Osobiście lubię #0^0=1# i działa przez większość czasu.

Oto jeden argument na korzyść #0^0 = 1# …

Dla dowolnej liczby #a w RR # wyrażenia # a ^ 1 #, # a ^ 2 #itd. są dobrze zdefiniowane:

# a ^ 1 = a #

# a ^ 2 = a xx a #

# a ^ 3 = a xx a xx a #

itp.

Dla każdej dodatniej liczby całkowitej # n #, # a ^ n # jest produktem # n # przypadki #za#.

Więc co z tym # a ^ 0 #?

Analogicznie jest to pusty produkt - produkt #0# przypadki #za#. Jeśli zdefiniujemy pusty produkt jako #1# wtedy wszystko działa dobrze. To ma sens jak #1# jest tożsamością multiplikatywną. Gdybyśmy mówili o pustej sumie, to o wartości #0# byłoby naturalne.

Jeśli jesteśmy z tego zadowoleni, co z tym #0^0#?

Jeśli to pusty produkt #0# przypadki #0#, to jest #1# zbyt.

Niestety, jeśli spojrzymy na wykładniki ułamkowe, otrzymamy nieprzyjemne zachowanie.

Rozważać # (2 ^ -n) ^ (- 1 / n) # dla #n = 1, 2, 3, … #

Tak jak #n -> oo #, # 2 ^ -n -> 0 # i # -1 / n -> 0 #

więc miałbyś nadzieję # (2 ^ -n) ^ (- 1 / n) -> 0 ^ 0 # tak jak # n-> oo #

ale # (2 ^ -n) ^ (- 1 / n) = 2 # dla wszystkich #n w {1, 2, 3, …} #

Zatem potęgowanie zachowuje się źle w sąsiedztwie #0#