Jak to obliczyć? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Przykład

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Niestety funkcja wewnątrz całki nie integruje się z czymś, czego nie można wyrazić w kategoriach funkcji elementarnych. Aby to zrobić, musisz użyć metod numerycznych.

Mogę ci pokazać, jak użyć rozszerzenia serii, aby uzyskać przybliżona wartość.

Rozpocznij od serii geometrycznej:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # dla # rlt1 #

Teraz integruj się w odniesieniu do # r # i używając limitów #0# i # x # aby to uzyskać:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integracja po lewej stronie:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Teraz zintegruj prawą stronę, integrując termin po semestrze:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Więc wynika z tego:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Teraz podziel się przez # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Mamy więc wyrażenie mocy serii dla funkcji, od której zaczęliśmy. Wreszcie możemy ponownie zintegrować, aby uzyskać:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Integracja terminów po prawej stronie po stronie daje nam:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Ocena ograniczeń do czterech terminów da nam przybliżoną wartość:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Teraz to tylko cztery terminy. Jeśli chcesz uzyskać dokładniejszą liczbę, po prostu użyj więcej terminów w serii. Na przykład, przechodząc do 100. terminu:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Na marginesie, jeśli pracujesz nad tym samym procesem, ale używasz notacji sumującej (tj. Z dużą sigmą zamiast wypisywać warunki z serii), zauważysz, że:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

która jest po prostu funkcją Riemanna-Zeta 2, tj.:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Wiemy już, że wartość tego jest: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Stąd dokładna wartość całki może być wydedukowana jako:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #