Pytanie # 6bd6c

Odpowiedź:

0

Wyjaśnienie:

#f (x) = x ^ 3-x # jest funkcją nieparzystą. Sprawdza #f (x) = -f (-x) #

więc # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Odpowiedź:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Może to być obszar, ale funkcja nie utrzymuje stałego znaku między #x w -1,1 #. Również z powodu symetrii # x = 0 # który zmniejsza o połowę ten odstęp, obszary anulują się nawzajem i niwelują obszar.

Wyjaśnienie:

Geometrycznie całka funkcji tylko jednej zmiennej równa się obszarowi. Jednak geometria sugeruje, że funkcja o mniejszej wartości jest odejmowana od funkcji o większej wartości, aby obszar nie był ujemny. Dokładniej, dla dwóch funkcji #f (x) # i #g (x) # obszar między dwoma wykresami w # a, b # jest:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Oznacza to, że należy wiedzieć, który z następujących przypadków rzeczywiście się sprawdza:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Teraz, rozważając swoją funkcję, znajdź znak różnicy między tymi funkcjami:

# x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

Widzimy to dla danego obszaru #-1,1# że ćwiczenie daje ci, znak faktycznie zmienia się z pozytywnego na negatywny # x = 0 #. Dlatego geometrycznie ta określona całka NIE reprezentuje obszaru. Rzeczywisty obszar to:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

Ponieważ obszar od 0 do 1 byłby ujemny, po prostu dodajemy znak minus, aby się sumował. Jeśli rozwiążesz całki:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

Zauważ, że dwie całki dają taką samą wartość? To z powodu symetrii funkcji, która powoduje, że twoja całka jest ujemna.

Podsumowując:

Twoja całka jest równa:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

Obszar funkcji, gdyby został zapytany, to:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Dlatego może przypominać obszar, ale całka, którą ci podano, NIE reprezentuje obszaru (możesz to wiedzieć od początku, ponieważ obszar nie może być 0). Jedynym wynikiem geometrycznym, jaki można by uzyskać, byłaby symetria funkcji. Dla osi symetrii # x = 0 # symetryczne wartości # x # #-1# i #+1# dają równe obszary, więc funkcja jest najprawdopodobniej symetryczna. Wykresowanie dwóch funkcji w tym samym arkuszu, widać, że w rzeczywistości jest symetryczne: