Jaka jest standardowa forma równania paraboli z macierzą przy x = 103 i fokus przy (108,41)?

Odpowiedź:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Wyjaśnienie:

Parabola to miejsce punktu, które porusza się tak, że jego odległość od danej linii zwanej directrix i danego punktu zwanego ogniskiem jest zawsze równa.

Teraz odległość między dwoma kuflami # (x_1, y_1) # i # (x_2, y_2) # jest dany przez #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # i odległość punktu # (x_1, y_1) # z linii # ax + przez + c = 0 # jest # | (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Jadąc do paraboli z directrix # x = 103 # lub # x-103 = 0 # i skup się #(108,41)#, pozwól, aby punkt był w równej odległości od obu # (x, y) #. Odległość # (x, y) # z # x-103 = 0 # jest

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

i jego odległość od #(108,41)# jest

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

i jak dwa są równe, równanie paraboli byłoby

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

lub # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

lub # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

lub # y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

lub # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

lub # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

lub w formie wierzchołka # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

i wierzchołek jest #(105 1/2,41)#

Jego wykres pojawia się w sposób pokazany poniżej, wraz z ostrością i reżyserią.

graph {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0,6) (x-103) = 0 51,6, 210,4, -13,3, 66,1}