Jaki jest rzut (4 i + 4 j + 2 k) na (i + j-7k)?

Odpowiedź:

Projekcja wektorowa jest #< -2/17,-2/17,14/17 >#, projekcja skalarna jest # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Dany # veca = (4i + 4j + 2k) # i # vecb = (i + j-7k) #, możemy znaleźć #proj_ (vecb) veca #, the wektor projekcja # veca # na # vecb # używając następującej formuły:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Oznacza to, że iloczyn punktowy dwóch wektorów jest podzielony przez wielkość # vecb #, pomnożone przez # vecb # podzielona przez jego wielkość. Druga wielkość jest wielkością wektorową, ponieważ dzielimy wektor przez skalar. Zauważ, że dzielimy się # vecb # przez jego wielkość w celu uzyskania wektor jednostkowy (wektor o wielkości #1#).Można zauważyć, że pierwsza wielkość jest skalarna, ponieważ wiemy, że kiedy otrzymamy iloczyn punktowy dwóch wektorów, wypadkową jest skalar.

Dlatego też skalarny projekcja #za# na #b# jest #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, także napisane # | proj_ (vecb) veca | #.

Możemy zacząć od przyjęcia iloczynu punktowego dwóch wektorów, które można zapisać jako # veca = <4,4,2> # i # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Wtedy możemy znaleźć wielkość # vecb # pobierając pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów każdego ze składników.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

A teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy, aby znaleźć projekcję wektorową # veca # na # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Możesz rozdzielić współczynnik do każdego komponentu wektora i napisać jako:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Projekcja skalarna # veca # na # vecb # to tylko pierwsza połowa formuły, gdzie #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Dlatego projekcja skalarna jest # -6 / sqrt (51) #, co nie upraszcza dalej, oprócz racjonalizacji mianownika, jeśli jest to pożądane, dawania # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Mam nadzieję, że to pomoże!